线性代数第7讲教学教案.ppt

线性代数第7讲;(五) 对称矩阵如果n阶矩阵A=(aij)满足aij=aji, (i, j=1, 2, ?, n), 则称A为对称矩阵.如;;例. 设A与B是两个n阶对称矩阵. 证明: 当且仅当A与B可交换时, AB是对称的.证: 由于A与B均是对称矩阵, 所以AT=A, BT=B. 如果AB=BA, 则有(AB)T=BTAT=BA=AB所以AB是对称的.反之, 如果AB是对称的, 即(AB)T=AB, 则有 AB=(AB)T=BTAT=BA即A与B可交换.;对任意矩阵A, ATA和AAT都是对称矩阵.;如果令;像这样将一个矩阵分成若干块(称为子块或子阵), 并以所分的子块为元素的矩阵称为分块矩阵.给了一个矩阵, 可以根据需要把它写成不同的分块矩阵.;如上例中的A, 也可以按其它方法分块, 例如:如果令;如果令;分块矩阵运算时, 把子块作为元素处理.如果将矩阵Am?n分块为;如果将矩阵Am?n, Bm?n分块为;其中对应的子块Apq与Bpq有相同的行数和列数, 则 A+B=(Apq)+(Bpq)=(Apq+Bpq);如果将矩阵Am?l, Bl?n分块为;其中Apk的列数与Bkq的行数相同, 则;例1. 设矩阵;解: 将矩阵A,B分块如下:;则;然后分别计算kI, kC, I+D, D+CF, 代入上面3式, 得;例2. 如果将矩阵Am?n, In分块为;则 AIn=A(e1 e2 ? en)=(Ae1 Ae2 ? Aen) =(A1 A2 ? An)可知 Aej=Aj (j=1,2,?,n);例3. 如果将矩阵A,x分块为;则;例4. 如果将矩阵A分为;形如;形如;§2.5 逆矩阵;解一元线性方程组ax=b, 当a?0时, 存在一个数a-1, 使x=a-1b为方程组的解. 那么在解矩阵方程Ax=b时, 是否也存在一个矩阵, 使这个矩阵乘以b等于x.这就是我们要讨论的逆矩阵问题.逆矩阵在矩阵理论和应用中都起着重要作用.;定义2.7 对于n阶矩阵A, 如果存在n阶矩阵B, 使得 AB=BA=I那么矩阵A称为可逆矩阵, 而B称为A的逆矩阵.;如果A可逆, A的逆矩阵是唯一的.因为, 如果B和B1都是A的逆矩阵, 则有 AB=BA=I, AB1=B1A=I那么 B=BI=B(AB1)=(BA)B1=IB1=B1即 B=B1所以逆矩阵是唯一的. 我们把矩阵A唯一的逆矩阵记作A-1.;定义2.8 若n阶矩阵A的行列式|A|?0, 则称A为非奇异的.;定理2.1 n阶矩阵A=(aij)为可逆的充分必要条件是A非奇异, 而且;证: 必要性设A可逆由 AA-1=I有 |AA-1|=|I|则 |A|?|A-1|=1所以 |A|?0, 即A为非奇异.;充分性设A非奇异, 存在矩阵;有;由此可知A可逆, 且;矩阵;作业习题二(A)第100页开始第32题，第33题，第34题的(1),(2),(3),(4)小题