线性代数第22讲教学教案.ppt

线性代数第22讲;2001年考研题(8分)已知3阶矩阵A与3维向量x, 使得向量组x,Ax,A2x线性无关, 且满足A3x=3Ax-2A2x.(1) 记P=(x Ax A2x), 求3阶矩阵B, 使A=PBP-1;(2) 计算行列式|A+I|.;解: 因A=PBP-1, 因此AP=PB, 将P=(x Ax A2x)代入, 即A(x Ax A2x)=(x Ax A2x)B(Ax A2x A3x)=(x Ax A2x)B(Ax A2x 3Ax-2A2x)=(x Ax A2x)B设;(Ax A2x 3Ax-2A2x)=(x Ax A2x)B;Ax=b11x+b21Ax+b31A2xA2x=b12x+b22Ax+b32A2x3Ax-2A2x=b13x+b23Ax+b33A2x 因为向量组x,Ax,A2x线性无关, 因此b11=0, b21=1, b31=0b12=0, b22=0, b32=1b13=0, b23=3, b33=-2即;;例;例 求方阵;例 研究a1=(1,2,-1),a2=(2,-3,1),a3=(4,1,-1)的线性相关性, 则将它们按列向量排成矩阵后用行初等变换将其变换为行最简矩阵.;;;;例 求向量组a1=(2,4,2), a2=(1,1,0), a3=(2,3,1), a4=(3,5,2)的一个最大无关组, 并把其余向量用该最大无关组线性表示.解: 将这向量看作矩阵A的列向量并作行初等变换将其变换为行最简矩阵:;由最后一个矩阵可知, a1,a2为一个最大无关组, 且 ;例 求解方程组;解 对系数矩阵施行行变换, 有;;例 求解方程组;解 对增广矩阵B进行变换:;最后的方程为;写成向量形式有;解 A的特征多项式为;对l1=2;对l2=4;例6 求矩阵;而后面的二阶行列式, 令其为零可以解出剩余的两个特征值:;对于l1=2, 对I-2A作行初等变换:;对于l2=l3=1, 对I-A作行初等变换