线性代数第21讲教学文稿.ppt

线性代数第21讲;1990年考研题(8分)求一个正交变换,化二次型;;得A的全部特征值为l1=l2=0, l3=9.;对于l1=l2=0, 求方程组(0I-A)x=o的基础解系, 由;对于l3=9, 求方程组(9I-A)x=o的基础解系;最后的方程组是;x3为自由变元, 令x3=1, 则x1=1/2, x2=-1, 因此(1/2,-1,1)T是对应于l=9的特征向量, 为了暂时避免分数, 不妨令y3=(1,-2,2)T, 作为基础解系, 再对y3进行单位化,;现在我们得到了对应于l1=l2=0和l3=9的三个已经单位化的, 相互正交的特征向量:;令矩阵P=(p1,p2,p3), 则P为正交矩阵, 在正交替换x=Py, 即;1991年考研题(6分) 设A是n阶正定阵, I(原题为E)是n阶单位阵, 证明A+I的行列式大于1.;证: 由于方阵的全部特征值的乘积等于该方阵的行列式, 所以, 要证明|A+I|1, 只要证明A+I的每一个特征值都大于1(A+I是实对称矩阵, 故其特征值都是实数).设l为A+I的任一特征值, 即存在非零向量x使(A+I)x=lx, 或A=(l-1)x, 因此l-1是A的一个特征值, A正定, 故l-10, 所以l1, 由l的任意性知A+I的每个特征值大于1, 因此|A+I|1.;1988年考研题(8分)已知矩阵;解: 因A与B相似, 因此它们有相同的特征多项式, 即|lI-A|=|lI-B|;;|lI-B|=(l-2)(l-y)(l+1)=[l2-(2+y)l+2y](l+1)=l3-(2+y)l2+2yl+l2-(2+y)l+2y=l3-(1+y)l2+(y-2)l+2y;|lI-B|=l3-(1+y)l2+(y-2)l+2y由|lI-A|=|lI-B|, 比较各幂次系数, 得2=2y, 因此y=1,2x-1=y-2=-1, 2x=0, 因此x=0,;x=0, y=1, 因此;对于l1=2, 求解方程组(2I-A)x=o, ;对于l2=1, 求解方程组(I-A)x=o, ;对于l3=-1, 求解方程组(-I-A)x=o, ;l1=2?p1=(1,0,0)T l2=1? p2=(0,1,1)T l3=-1?p3=(0,-1,1)T;1999年考研题(3分) 设n阶矩阵A的元素全为1, 则A的n个特征值是_______;解: A的元素全为1, 即;;再将各行减去第1行.;得l1=n,l2=l3=?=ln=0.;2000年考研题(3分)已知方程组;解: 对方程组的增广矩阵进行初等变换;可看出, 当a=-1时, 方程无解. 应填-1.