线性代数4第四章 节 相似矩阵及二次型.ppt

再将含x2的各项配成完全平方，即 f(x1,x2,x3)=2(x1+x2-x3)2-(x22+4x2x3+4x23)-6x23 =2(x1+x2-x3)2-(x2+2x3)2-6x23 令y1=x1+x2-x3 y2=x2+2x3 y3=x3 (4.19) f(x1,x2,x3)=2y21-y22-6y23 (4.20) 式(4.20)就是所求的标准型.式(4.19)就是从变量x到变量y之间变换式，其逆变换为 x1=y1-y2+3y3 x2=y2-2y3 x3=y3 (4.21) 即x=Cy，其中 由于detC=1，故C为满秩矩阵. 对于二次型，引入矩阵 及变换式(4.21)后，即有 f(x1,x2,x3)=xTAx=(Cy)TACy=yTCTACy 若二次型用变量y表示，则相应的对角矩阵为 易知上述配方法总是可行的，所以有下面的结论. 定理1 任何一个二次型都可化为标准型.即任何一个对称矩阵A，总能找到可逆矩阵C，使得CTAC成为对角矩阵. 2. 用正交变换法化二次型为标准型 上面介绍了用配方法把二次型化为标准型.除了这个方法以外还有更重要的方法——正交变换法. 在这一节的前面曾指出，平面上二次曲线的分类问题关键是要把x，y的二次型 ax2+2bxy+cy2 经过变量代换 x=x′cosθ-y′sinθ y=x′sinθ+y′cosθ (4.27) 化为平方和的形式 a′x′2+b′y′2 这里变量代换(4.27)的系数矩阵 是一个正交矩阵. 如果变量代换的系数矩阵是正交矩阵，则称之为正交变换.现在我们将说明对二次型一定可以经过正交变换把它化成标准型. 定理2 对于任何一个二次型f(x1，x2，…，xn)，一定能找到一个正交矩阵U，使得经过正交变换x=Uy 把它化为标准型λ1y21+λ2y22+…+λny2n 其中λ1，λ2，…，λn是二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵A的全部特征值. 【解】f(x1，x2，x3，x4)的矩阵是 A的特征多项式为 于是A的不同特征值为λ1=1(二重)，λ2=-1，λ3=3. 对于λ1=1，解齐次线性方程组(1E-A)x=0，由 求得一组基础解系为 这里α1，α2恰好正交(若所求α1，α2不正交则应正交化)，只需单位化，令 对于λ2=-1，解齐次线性方程组(-1E-A)x=0，由 定理3 对称矩阵A的不同特征值的特征向量是线性无关的. 证明 由定理3知，A的不同特征值的特征向量是正交的；又由4.1节中的定理知，其向量也是线性无关的. 4.3 相似矩阵 4.3.1 相似矩阵的概念 4.3.2 相似矩阵的对角化 4.3.1 相似矩阵的概念 定义1 设A与B都是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则称A与B是相似的，记做A～B. 相似矩阵有如下性质： 性质1 相似矩阵有相同的行列式. 证明 设A～B，即存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP，于是 detB=det(P-1AP)=det(P-1)detAdetP=det(P-1)detPdetA=det(P-1P)detA=detA 性质2 相似矩阵具有相同的可逆性；若可逆，它们的逆矩阵也相似. 证明 因矩阵的可逆性是由矩阵的行列式是否为零所决定的.由性质1知，它们具有相同的可逆性.又设A～B，且A，B都可逆. 由于B=P-1AP，故B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P 由定义1知，A-1～B-1. 性质3 相似矩阵具有相同的特征多项式. 证明 设A～B，即B=P-1AP，所以 det(λE-B)=det(λE-P-1AP)=det(P-1(λE-A)P)=det(P-1)detPdet(λE-A)=det(λE-A) 性质4 相似矩阵具有相同的特征值. 证明 由性质3立即可得性质4. 定理1 设A与B都是n阶矩阵，则tr(AB)=tr(BA),其中tr(AB)表示AB的迹. 性质5 相似矩阵有相同的迹. 证明 设A～B，则存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP 由定理1，得tr(B)=tr(P-1AP)=tr(P-1(AP))= tr((AP)P-1)=tr(AE)=tr(A) 4.3.2 相似矩阵的对角化 如果n阶矩阵A能相似于对角矩阵，则称A可对 角化.设A是n阶方阵，如果可对角化，即有可 逆矩阵P，使得P-1AP=D 其中D为对角矩阵， 即AP=PD 把P进行分块，得P=[α1α2…αn] 由上式得 A[α1α2…αn]=[α1α2…αn]D 即[Aα1Aα2…Aαn]=[λ