线性代数3第三章 节 线性方程组.ppt

3.4 向量组的线性相关性 3.4.1 线性相关性的概念 3.4.2 线性相关性的判定 3.4.1 线性相关性的概念 定义 给定向量组A： α1，α2，…，αs ，如果存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使 k1α1+k2α2+…+ksαs=0 则称向量组A线性相关，否则称为线性无关. 从上述定义可见： (1)向量组只含有一个向量α时，α线性无关的充分必要条件是α≠0.因此，单个零向量0是线性相关的. （式一） 进一步还可推出，包含零向量的任何向量组都是线性相关的.事实上，对向量组α1,α2，…，0，…，αs恒有 0α1+0α2+…+k·0+…+0αs=0 其中：k可以是任意不为零的数，故该向量组 线性相关. (2)仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例.两向量线性相关的几何意义是这两个向量共线. (3)三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 最后我们指出，如果当且k1=k2=…=ks=0时(式一)才成立，则向量组α1，α2，…，αs是线性无关的，这也是论证一向量组线性无关的基本方法. 3.4.2 线性相关性的判定 定理1 向量组α1，α2，…，αs (s≥2)线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示. 证明 必要性 设α1，α2，…，αs线性相关，则存在s个不全为零的数k1，k2，…，ks ，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立. 不妨设k1≠0,于是 充分性 设α1，α2，…，αs中至少有一个向量能由其余向量线性表示，不妨设 即 故α1，α2，…，αs线性相关. 即α1可由其余向量线性表示. 定理2 设有列向量组 (j=1,2,…,s) 则向量组α1，α2，…，αs线性相关的充要条件是：矩阵A=(α1，α2，…，αs)的秩小于向量的个数s. 推论1 s个n维向量组α1，α2，…，αs线性无关(线性相关)的充要条件是：矩阵A=(α1，α2，…，αs)的秩等于(小于)向量的个数s. 推论2 n个n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关(线性相关)的充要条件是：矩阵A=(α1，α2，…，αn)的行列式不等于(等于)零. 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立. 推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关. 定理3 若向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任一部分组皆线性无关. 定理4 若向量组α1，α2，…，αs ，β线性相关，而向量组α1，α2，…，αs线性无关，则向量β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一. 定理5 设有两向量组A:α1,α2,…,αs; B:β1,β2,…,βt,向量组B能由向量组A线性表示，若st，则向量组B线性相关. 推论5 设向量组B能由向量组A线性表示，若向量组B线性无关，则s≥t. 推论6 设向量组A与B可以相互线性表示，若A与B都是线性无关的，则s=t. 例3 设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，证明： (1) α1能由α2，α3线性表示； (2) α4不能由α1，α2，α3线性表示. 证明: (1) 因α2，α3，α4线性无关，由推论4知α2，α3线性无关，而α1，α2，α3线性相关，由定理4知α1能由α2，α3线性表示. (2)用反证法: 假设α4能由α1，α2，α3线性表示，而由(1)知α1能由α2，α3线性表示，因此，α4能由α2，α3线性表示，这与α2，α3，α4线性无关矛盾. 3.5 向量组的秩 3.5.1 极大线性无关向量组 3.5.2 向量组的秩 3.5.3 矩阵与向量组秩的关系 定义1 设有向量组A： α1，α2，…，αs ，若在向量组A中能选出r个向量αj1，αj2，…，αjr满足 (1) 向量组A0： αj1，αj2，…，αjr线性无关； (2) 向量组A中任意r+1个向量(若存在的话)都线性相关，则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组(简称为极大无关组). 3.5.1 极大线性无关向量组 向量组的极大无关组可能不止一个，但由3.4推论6知，其向量的个数是相等的. 定理1 如果αj1，αj2，…，αjr是α1，α2，…，αs的线性无关部分组，它是极大无关组的充分必要条件是α1，α2，…，αs中的每一个向量都可由αj1，αj2，…，αjr线性表示. 证明 必要性 若αj1，αj2，…，αjr是α1，α2，…，αs 的一个极大无关组，则当j是j1，j2，…，jr