线代ch4 线性代数教材.ppt

第四章 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组解的存在性定理 在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。 §4.1 线性方程组解的存在性定理 1、非齐次方程组解的存在性定理 2、齐次方程组解的存在性定理 (4-1) (矩阵形式) (向量形式) (原始形式) 一、非齐次方程组解的存在性定理 定理4.1.1 对于非齐次方程组 (4-1) 向量 可由A的列向量组 线性表示。 定理4.1.3 对于齐次方程组 (1) A的列向量组线性无关 (2) A的列向量组线性相关 推论1 当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3) 一定有非零解. 齐次方程组解的存在性定理 定理4.1.4 设 的线性方程组 有非零解 (4-4) 例： (1) 如果非齐次线性方程组 有惟一解， 则 只有零解？ (2) 如果 只有零解，则 非齐次线性方程组 有惟一解吗？ 第四章 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 (2) 解集的秩是多少? (3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求? 齐次方程组 (假设有无穷多解) (1) 解集的特点? 称： 性质1：若 是(4-3)的解， 解空间: 的所有解向量的集合S，对加法和数乘 都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次 线性方程组的解空间。 性质2： 注： 如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。 如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。 性质 推论1 而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。 首先回答问题(1) 设 是 的解，满足 线性无关； 的任一解都可以由 线性 是 的一个基础解系。 基础解系 表示,则称 下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题， 同时也是定理4.2.1的例证。 ( 取任意实数) 从而 也是(4-3)的解。 通过下面的例子, 针对一般的方程组 例1 回答所提问题. 第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形 B 从行最简形能得到什么？ 第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量) 自由变量的个数=? 第三步:令自由变量为任意实数 写出通解，再改写成向量形式 是解吗? 线性无关吗? 任一解都 可由 表示吗? 是基础解系吗? 基础解系所含向量的个数 = ? 第四步:写出基础解系 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 个解向量。 定理4.2.1 推论2 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的任意 个线性无关 的解向量均可构成基础解系。 设 ,证明 证 记 则由 说明 都是 的解 因此 移项 重要结论 推论3 例2 设 , 是 的 两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是 且线性无关，则_______是AX=O的基础解系。 (2),(3) 练习 1、 练习 2、求下列线性方程组的基础解系与通解. 例3 证明 设 , 首先证明 利用这一结论 证 重要结论 第四章 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 以下总假设 有解, 而其对应的齐次方程组 的基础解系为 这里 性质 (1) 设 都是(1)的解,则 是(2)的解. (2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解. 设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x 是 (2)的解,从而存在 使得 又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解. 由此得: (3) 注：非齐