第四章 节 力学量用算符表达 量子力学.pptx

第四章 力学量用算符表达;§1 力学量的平均值;1. 统计平均值的意义;2. 再论（归一化的）|Ψ|2和|C|2的物理意义;(1) 坐标表象的力学量平均值。 对以波函数ψ(r, t)描写的状态，按照波函数的统计解释， |ψ(r, t)|2 dr表示在t时刻在r→r+dr中找到粒子的几率，因此坐标r的平均值显然是;如果 是动量 的解析函数，且可以展成幂级数：;（3）动能和角动量的平均值;（4）任一力学量的平均值;§2 算符的运算规则;算符的一般特性;例子;2.算符的运算规则;称A与B不对易;若 ，则称 与 不对易。 若 ，则称 与 对易。;量子力学中最基本的 对易关系。;注意：B与A对易，A与C对易，不能推知B与C对易。;不难证明，对易式满足如下关系;逆算符;算符函数;两个（或者多个）算符的函数;转置算符 算符 的转置算符 定义为;厄米共轭算符;厄米算符;指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。;;第28页;证明 是厄米算符。;问下列算符是否是厄米算符：; ②;算符：代表对波函数的某一种运算。 线性算符 算符之和 算符之积 逆算符 算符函数 ;按假定，在任意状态Ψ下，即;分别令λ＝1和λ＝i可得：;第35页;例题： (a)证明： (b)证明： ;角动量对易式;定义;球坐标系下的角动量算符;第40页;§ 4.2 厄米算符的本征值和本征函数;第42页;第43页;（2）厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交。;若ψi(i=1,2,3…)是归一化的本征函数，则综合正交归一性;（3）厄米算符所有的本征函数组成的函数系构成完备系统;求展开函数Cn：;设任一态为;量子力学中的力学量以线形厄米算符来表示，力学量取确定的态就是力学量算符的本征态，力学量的取值就是算符的本征值。力学量算符的本征函数系是正交归一完备的，它们是力学量所有可能取的数值及其相应态。;下列函数哪些是算符;例1 求角动量z分量lz的本征值和本征函数。;例2, 求动量x分量px的本征态。;例3 一维自由粒子的能量本征态;大致可分为三类： （1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征值谱； （2）带谱—本征值被限定在某些区域， 例如固体中的能带； （3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。 重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为λ或λ’, 分立谱记为λn(n=1, 2, …) 。对应的本征函数分别记为φ λφ λ’及φ n。力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如 f 个）本征态对应一个本征值，称这种情况为 f 度简并。;第55页;第56页;第57页;第58页;§ 4.3 共同本征函数;注意C ,A均为实,不妨令ξ=C/2A2 ,则得;两力学量同时有确定值的条件;两算符对易的物理含义;定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。;逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。;定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。;　 的共同本征态,球谐函数;由于;令 ,则;;由角动量对易关系：;利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下， 〈Lx〉= 〈Ly〉= 0;力学量完全集合; ;例 2：; 力学量完全集中包含有体系的Hamilton量。此时，完全集中各力学量都是守恒量，又称为守恒量完全集(CSCCO)。;§ 4.5 连续谱本征函数的归一化;或等价表示为：对于在x=x0 邻域连续的任何函数f(x);位置本征态的归一化问题也可类似处理。按照δ函数的性质;按照厄米算符定义，对任意波函数ψ, φ (φ, pψ)= (p φ, ψ),;由周期性边界条件 ψp(-L/2) = ψp(L/2) ;它们满足正交归一化条件：;而δ函数可如下构成：当L→∞时，px, py, pz 将连续变化：;量子力学中的测量;量子态坍缩;两个力学量的观测;小结：两个力学量同时有确定值的条件体系恰好处在其共同本征态上。;例：已知空间转子处于如下状态;Ψ是 Lz 的本征态，本征值为 ?。;归一化波函数;第90页;第91页;第92页;第93页;第94页;量子力学基本假设