第十章 节 无穷级数5-6.ppt

第十章 无穷级数;§5 幂级数;§5 幂级数;1. 幂级数的收敛半径;例3. 设幂级数为;引理的证明:;引理的证明:反证法;分析;同理,在(?| x2|, ?| x1| )上有一分界点?S, 使得(?S, 0) 的点为收敛点, (??, ?S )上点为发散点, 且 r =S .; 综上所述,幂级数收敛域必是下列情形之一：;(3) 除(1), (2)两种情形外, 必存在正数r0, 使;1. 幂级数的收敛半径;1. 幂级数的收敛半径;例4. ;1. 幂级数的收敛半径;定理2的证明:;定理2的证明:;定理2的证明:;定理2的证明:;例2 求下列幂级数的收敛区间:;;发散;如缺项，;例3;1. 幂级数的收敛半径;例5. 求幂级数;在端点x = ?2,;例6. 给定幂级数;例7. 求幂级数;故 r1= 3, ;故原级数的收敛半径为;例8. 求幂级数;即 |x ?1|2, ?1 x 3原级数收敛;2. 幂级数的性质—幂级数的四则运算;(2) 乘法; b0 b1 b2 ? bn;(3) 除法;c0, c1, c2, ?, cn由下式确定;注：(1)两幂级数??减乘之后所得幂级数收敛半径.;(2)幂级数在收敛区间中的内闭一致性;定理4的证明:;定理4的证明:;(3)幂级数的连续性;定理5的证明:; 定理6(积分性质) 幂级 数;定理6的证明:; 推论：由幂级 数;推论的证明:; 定理7(微分性质) 幂级 数;定理7的证明:;定理7的证明:;定理7的证明:;定理7的证明:;定理7的证明:;定理7的证明:;例9. 求幂级数;例10. 求和;解;;例5 ;故;常用已知和函数的幂级数;常见级数的和;(6). 幂级数积分和求导后的收敛半径;推论1的证明:;推论2的证明:;(6). 幂级数积分和求导后的收敛半径;四、小结;思考题解答;其中;§6 泰勒级数;1.幂级数展开的必要条件与泰勒级数;(4)一个函数f(x)的泰勒级数未必收敛到f(x);1.幂级数展开的必要条件与泰勒级数;在x=0点任意可导,;2. 函数能展开成幂级数的充要条件;证： 令;3. 初等函数的泰勒展开式;(1)将函数f (x) = ex展开成x的幂级数;ex的泰勒公式余项;(2) f (x) = sinx的泰勒展开式 ;得到幂级数;在幂级数的收敛域内逐项求导, 得;(3)arctanx的泰勒展开式;(4) ln(1+x) 的泰勒展开式;(5)展开f (x) = (1+ x) ? (? ?R)为x 的幂级数.;故;在讨论余项之前, 我们先列出? 取特殊值时的公式.;(?1, 1];设;则;将上两式相加, 并注意;即 (1+x) ? (x) = ?? (x);因? (0) = 1 故? (x) = (1+x)?;;;;;;解:;解: (1);(2);例14.;例15.;解;;幂级数小结;一、主要内容;１．幂级数;Ｒ－－收敛半径（－Ｒ，Ｒ）－－收敛区间;　－－原级数的发散点;(3)幂级数的运算;⑷幂级数求和函数;步骤：;２．幂级数展开式; 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.;的展开式，并且要十分熟悉几何级数及函数间的微分关系 ;二、典型例题;由于;原级数成为;收敛;令;令;例３求级数和;例４;例５;;或;积分;;求;例8　设;解二