第十章 节 无穷级数1-2.ppt

第十章 无穷级数;§1 柯西收敛原理与数项级数的概念;§1 柯西收敛原理与数项级数的概念;柯西收敛准则的证明：必要性;柯西收敛准则的证明：充分性;(4)函数极限的柯西收敛原理;2.数项级数及其收敛性概念;例1. 下列各式均为常数项级数;例2. 下列各式均为函数项级数;2.数项级数及其收敛性概念;无穷级数收敛性举例：Koch雪花.;观察雪花分形过程;观察雪花分形过程;1;2;3;4;5;第 次分叉：;于是有;例3. 讨论等比级数;当公比 | r |1时，;例4. 讨论级数;而;因为 ;2.数项级数及其收敛性概念;定理3的证明：;2.数项级数及其收敛性概念;定理4的证明：;例5. 判别;例6. 证明调和级数;;由数学归纳法，得;2项;讨论;由定积分的几何意义;3.收敛级数的性质;例7. 因为等比级数;例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？;3.收敛级数的性质;3.收敛级数的性质;性质(4)的证明：;例9. 考虑一下几个问题：;§2 正项级数的收敛判别法;例10. 级数;§2 正项级数的收敛判别法;定理1的证明:(1);定理1的证明:(2);§2 正项级数的收敛判别法;例11. 判断级数;例12. 讨论P一级数; 当p1, 按1, 2, 22, 23, …, 2n, …项对P一级数加括号，不影响其敛散性：; ……………………………………;于是，P一级数加括号后生成的级数的每一项均;解;; 比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法。;§2 正项级数的收敛判别法;定理2的证明:(1);定理2的证明:(2);例13. 判别级数;例14. 判别级数;注意;解;§2 正项级数的收敛判别法;定理3的证明:(1);定理3的证明:(1);定理3的证明:(1);定理3的证明:(2);定理3的证明:(3);比值审敛法的优点:;;解;;比值审敛法失效, 改用比较审敛法;例15. 判别级数;例16. 判别级数;当0|x|1时，?1, 级数收敛.;当 | x |=1 时，?=1, 但原级数此时为;例5;例6;比值法失效，但;§2 正项级数的收敛判别法;定理4的证明:(1);定理4的证明:(2);定理4的证明:(3);级数收敛.;例17. 判别级数;例18. 判别级数;即;当 x = a 时，?=1, 但;§2 正项级数的收敛判别法;§2 正项级数的收敛判别法;§2 正项级数的收敛判别法;定理6的证明:;定理6的证明:;定理6的证明: