第十二章 节 傅氏级数.ppt

第十二章 傅氏级数;Fourier 级数;一、问题的提出;非正弦型周期函数：矩形波;; 以电路计算为例，往往将以 T 为周期的函数化成一系列不同频率的正弦量之和。;§1 三角函数系及其正交性;;2.基本三角函数系及其特点;;;;§2 周期为2π的函数的傅氏级数及其收敛性;函数展开成傅里叶级数;;;;傅里叶系数;2.傅氏级数收敛性定理及傅氏展开式;第一类间断点;2.傅氏级数收敛性定理及傅氏展开式;;;;2.傅氏级数收敛性定理及傅氏展开式;f (x) 在点 x0 处的右导数:;f (x) 在点 x0 处的左导数:;问题:; 以上我们是在f ( x ) 可以展开成三角级数并可以逐项积分的前提下讨论问题的，下面我们撇开这个前提;(4)狄利克雷充分条件;(5)定理2;;例1.;例1.;例1.;例1.;例1.;例1.;注意:;和函数图象为;和函数图象为;所求函数的傅氏展开式为;例2 ;例3 ;思考题;解答;; 傅氏级数的意义——整体逼近;;;;;;;;;;;;;;3.奇偶周期函数的傅氏级数;3.奇偶周期函数的傅氏级数;展开步骤; 求函数的Fourier级数展开式，主要的工作是计算 Fourier系数，利用函数的奇偶性可简化Fourier系数计算，;当f ( x ) 是偶函数时;4.任意周期的周期函数的傅氏级数;4.任意周期的周期函数的傅氏级数;4.任意周期的周期函数的傅氏级数;4.任意周期的周期函数的傅氏级数;4.任意周期的周期函数的傅氏级数;4.任意周期的周期函数的傅氏级数;4.任意周期的周期函数的傅氏级数;;;;;;;;;解;;;;非周期函数的展开;5.定义在有穷区间的函数的傅氏系数;;F(x)的傅氏级数;5.定义在有穷区间的函数的傅氏系数;5.定义在有穷区间的函数的傅氏系数;5.定义在有穷区间的函数的傅氏系数;解;解;;解;;;;所求函数的傅氏展开式为;利用傅氏展开式求级数的和;利用傅氏展开式求级数的和;;;(2)f(x)在[-l,l)or(-l,l]or[-l,l]上有定义;周期延拓;而在 [ -l , l ) 的连续点处， 有;需要注意的是区间的两个端点，;展开式在;解;;另解;(3)f(x)在[0,l]上有定义;(3)f(x)在[0,l]上有定义;注意;注意;解;;解;解;;解;解;;(2)求余弦级数.;;§3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式;§3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式;§3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式;§3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式;§3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式;§3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式;§3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式;§3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式;§3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式;小结;4 非周期函数的展开 奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;;Fourier 级数 小结;常数项级数;一、主要内容;2。收敛定理（Dirichlet充分条件）;3。周期为 2L 的函数展开为 Fourier 级数;若 f ( x ) 是奇函数或偶函数，则有简化的计算公式; 先在整个数轴上作周期延拓，将延拓后的函数 展开成 Fourier 级数，最后限制自变量的取值范围， 即得f ( x ) 的 Fourier 级数展开式;5。强调几点;⑶求函数的Fourier 级数展开式，必须注明展 开式的成立范围——即连续区间，也即只要去 掉间断点;Fourier 级数;二、典型例题;同理;解;;解;只须注意端点处的情况;例4 ;解;令 x = 0 得;;证明;;再展开成余弦级数 ，须进行奇延拓;