第十一章 节 微扰论2 量子力学.pptx

第十一章 微 扰 论;;§1 束缚定态微扰论 ; 常用的近似方法：微扰论, 变分法, 绝热近似, 准经典近似等。;;为了明显表示出微扰的微小程度，暂时将其写为：;;将(2)、(5)、(6)式代入(1)式，比较两边的同级项相等，可得各级近似下的方程：;;类似地，以 左乘(9)式，并利用(10)式得 ;;§2 非简并定态微扰论 ;因为H0厄米，其本征函数 正交、归一、完备，故可将一级微扰近似波函数 按 展开;利用H0本征态的正交归一性，得 ;;(17)、(18)两式代入(14)式，得到波函数的一级近似：;（二）2级近似;;综上，在二级近似下的k能级本征值和本征态分别为：;(25)、(26)式中的微扰矩阵元 均可由(16)式计算。;（三）微扰理论适用条件;例如：氢原子体系能量（能级）与量子数n2成反比，即 En = -μe4 /2?2n2 ( n = 1, 2, 3, ...) 若计及电子自旋和轨道相互作用，可将其视为微扰，此时就需要计算体系能级En的微扰修正（即各级近似等）。由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。;（四）讨论;③ 用微扰论处理问题时, 要恰当地选取H0, 在有的问题中H0与H 的划分是很显然的, 但在有的问题中要根据如何使计算简化来决定H0与H 的划分，同时还要兼顾计算结果的可靠性。;例. 设Hamilton量的矩阵形式为：;H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：;准确到二级近似的能量本征值为：;设H 的本征值是E，由久期方程可解得：;微扰法:;将Hamilton量分成H0 + H 两部分，只要电场? 不太大，上式最后一项很小，可看成微扰。;微扰;3. 计算 Ek(1);利用厄米多项式的递推公式：;;;5. 计算波函数的一级修正;6. 计算极化率;极化率;例2. 设Hamilton量的矩阵形式为：;H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：;准确到二级近似的能量本征值为：;设H 的本征值是E，由久期方程可解得：;微扰法:;§3 简并定态微扰论 ;;;;;;;;;;;;;;;;;;3. E2(1) = E23(1) = E24(1) = 0 ，代入上面方程，得：;变分法;1. 能量的平均值 ;证明：;其中最小的一个就最接近基态能量 E0，即;2. H 与 E0 的偏差和试探波函数的关系;可见，若 ? 是一小量，即波函数偏差[|ψ - |ψ0] = ? |? 是一阶小量，那么;[结论] 上述讨论表明，对本征函数附近的一个任意小的变化，本征能量是稳定的。因此，我们选取试探波函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。;（2）试探波函数要满足问题的边界条件；;下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。;方法 II: ;4. 变分方法;5. 例子;2.求能量平均值;代入上式得基态能量近似值为：;;3.变分求极值;正是一维谐振子基态波函数。此例之所以得到了正确的结果，是因为我们选取的试探波函数与真实基态波函数一致。尽可能的通过对体系物理特性（Hamilton量性质）的分析，构造出物理上合理的试探波函数。