第十一章 节 广义积分与含参变量的积分.ppt

第十一章 广义积分与含参变量的积分;定积分条件;a;1;§1 广义积分;例3. 使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b所需能量由;解: 因为由初始距离RB移动到最终距离?的能量由广义积分表示为;代入使用的单位(E的单位为J), 有;广义积分被用作分离氢原子所需能量的模型是因为通过无穷大的距离与通过很大的有限距离分离电子和质子所需能量之间的差是可以忽略不计的. 而广义积分可以在不知道最终距离的情况下计算出来.;§1 广义积分;§1 广义积分;例4. 确定指数 p 的值,使积分;我们得出结论: 当p ?1时,;1.无穷积分;1.无穷积分;例. 判断;1.无穷积分;x;1.无穷积分;(5)无穷积分收敛的判别法;;;(5)无穷积分收敛的判别法;;x;例5. 判断;例. ;(5)无穷积分收敛的判别法;;;例6. 判断;例7. 判别;解: 由于;例. 判断;例. 判断;例. 判断;(5)无穷积分收敛的判别法;(5)无穷积分收敛的判别法;;证明: 由于;证明:;例. 判断;有另一种形式的广义积分, 积分区间可能是有限的但函数可能在区间的某些点无界. 比如, 考察;x;首先我们计算积分;从几何意义上来说,我们已经计算出x=a和x=1之间的有限面积并得到a从右边趋于0时的极限. 因为极限存在, 我们说积分收敛于2, 如果积分不存在, 我们就说广义积分发散.;若?? 0, 函数f (x)在? (x0, ?)内无界, 则称点x0为f (x)的一个瑕点. ;2. 瑕积分;2. 瑕积分;解：当 p?0 时, 所求积分为通常的定积分, 且易求得积分值为;当p =1时, a为瑕点, 且;当p 1时,;;2. 瑕积分;例2.;解: 有麻烦的点是x=0, 而不是x= –1或x=2. 为处理这一情况, 我们将给定广义积分分为两个新的以x=0为其一个端点的广义积分:;假如积分收敛, 我们现在能够运用前述的技巧来计算新的积分. 在这个例子中, 两个积分都发散, 因为;很容易忽略因为被积函数在区间内部趋于无穷大而使积分为广义积分的情况. 比如, 说;;2. 瑕积分;2. 瑕积分;2. 瑕积分收敛的判别法;2. 瑕积分收敛的判别法;例3. 判别积分;另外, 作代换;;;;;2. 瑕积分收敛的判别法;2. 瑕积分收敛的判别法;解: ;解: ;解: ;解: ;的敛散性.;且当 s –10时, x = 0为其瑕点, 故该积分为混合型广义积分, 进一步有;3) 当s 0时, 有;§2 含参变量的正常积分;§2 含参变量的正常积分;解:;解:;§2 含参变量的正常积分;解:;§2 含参变量的正常积分;;解:;解:;解:;§2 含参变量的正常积分;;解:;§3 含参变量的广义积分;(2)含参变量的无穷积分:;;;;§3 含参变量的广义积分;§3 含参变量的广义积分;§3 含参变量的广义积分;解:;解:;解:;§3 含参变量的广义积分;(6)无穷积分一致收敛的M判别法;;证明:;(7)无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法;(8)无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法;证明:;(9)含参变量无穷积分的连续性和可积性;例.;例.;(10)含参变量无穷积分的可微性;;;;;;;例.;(11)两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件;定理6‘：设函数f(x,y)在区域[a,+∞) ×[c, +∞)上二元连续。又 分别关于y及x在任意有穷区间[c+ε,d]及[a+ε,b]上一致收敛，且 中至少有一个存在，则;例.;例.;2. 含参变量的瑕积分;2. 含参变量的瑕积分;2. 含参变量的瑕积分;(4)含参变量的瑕积分一致收敛的M判别法;2.含参变量的瑕积分;2.含参变量的瑕积分;;;;;3. Γ函数与Β函数;;3. Γ函数与Β函数;;3. Γ函数与Β函数;;;3. Γ函数与Β函数;;当p0且q0时， 积分收敛。;当p0且q0时， 积分收敛。;3. Γ函数与Β函数;3. Γ函数与Β函数;(5) Β函数的性质 ;(5) Β函数的性质 ;(5) Β函数的性质 ;(5) Β函数的性质 ;(5) Β函数的性质 ;(5) Β函数的性质 ;3. Γ函数与Β函数;3. Γ函数与Β函数;3. Γ函数与Β函数;例.;例.;例.