第八章 节 曲线积分与曲面积分1-3.ppt

ds dz dy dx o y z x § 3.格林公式 平面第二型曲线积分与路径无关的条件 1.简单闭曲线L 2.若尔当定理 3.单连通区域/多连通区域 (单连通区域) 3.单连通区域/多连通区域 (多连通区域) 4.L+ 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时? 如果左手在区域D内? 则行走方向是L的正向? 单连通区域 4.L+ 多连通区域 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时? 如果左手在区域D内? 则行走方向是L的正向? 5.格林公式 格林公式的证明： 格林公式的证明： 格林公式的证明： A B B’ A’ 格林公式的证明： 格林公式的证明： 格林公式的证明： 应用格林公式的注意事项 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成? 函数P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一阶连续偏导数? 则有 其中L是D的取正向的边界曲线? ——格林公式 应注意的问题: 对多连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向? Green 公式主要用于通过化曲线积分 为二重积分来计算曲线积分 格林公式的特殊情况--计算平面区域的面积 在少数特殊清况下,可用Green 公式化二重积分为曲线积分 1. 简化曲线积分 ? x y o L A B 解 不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D? 例 计算 ò + - L y x ydx xdy 2 2 , 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 在D内取一圆周l? x2?y2?r2(r0)? 当(0? 0)?D时? 记L及l所围成的多连通区域为D1? 应用格林公式得 其中l的方向取顺时针方向? 于是 不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向? 例 计算 ò + - L y x ydx xdy 2 2 , 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 证明： D L y x o n0 n0 t0 t0 (2)空间曲线的第一型曲线积分的计算 例4. 计算 其中?：从点A(3, 2, 1)到点O(0, 0, 0)的直线段. 解：直线段 AO 方程： 化成参数方程：x=3t, y=2t, z=t, 0≤t≤1. 注 关于对弧长的曲线积分的对称性 ①若 L 关于 y 轴对称 其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段 ②若L关于 x 轴对称 其中L2 是L 的关于x 轴对称的部分弧段 ③若 L 关于 原点 对称 其中 L3 是 L 的对称的部分弧段 ④若 L 关于直线 y = x 对称 与重积分的对称性十分类似 例5 解 由对称性, 知 y z x 例4. 求柱面x2+y2=ax含在球面x2+y2+z2=a2(a0)内部的那部分面积. 解：A=4A1 0≤x≤a z y x L z y x L 例1.计算 其中L为 在第二象限的部分 解一 将L表示为 解二 将L表示为 例1.计算 其中L为 在第二象限的部分 解三 将L表示为参数方程 例1.计算 其中L为 在第二象限的部分 例2 解 例3 解 例4 解 实例: 变力F沿曲线L所作的功 常力F沿直线AB所作的功 分割 § 2. 第二型曲线积分（对坐标轴的曲线积分） 问题的提出 求和 取极限 近似值 精确值 § 2. 第二型曲线积分 1.第二型曲线积分的概念 (2)空间曲线L的第二型曲线积分 对坐标的曲线积分 (3) 第二型曲线积分的性质 2.第二型曲线积分的计算-(1)平面曲线L由参数方程给出 对应起点A 对应终点B (2)平面曲线L由y=g(x)给出 (3)平面曲线L由x=h(y)给出 曲线积分的基本算法是化为参数的定积分 (4)空间曲线L由参数方程给出 曲线积分的基本算法是化为参数的定积分 例1 计算 其中L分别为图中的路线: (i) AB(直线); (ii) ACB(抛物线 (iii) ADBA(三角形) A(1,1) D(2,1) B(2,3) c 解: (i) AB(直线)的方程为: y=2x-1 A B x: 1 2 例1 计算 其中L分别为图中的路线: (i) AB(直线); (ii) ACB(抛物线 (iii) ADBA(三角形) A(1,1) D(2,1) B(2,3) c 解: (ii) ACB的方程为: A B x: 1 2 原式 例1 计算 其中L分别为图中的路线: (i) AB(直线); (ii) ACB(抛物线 (iii) ADB