第三章 节 补充知识更新过程（Renewal Process).ppt

信息工程学院四系三教 信息工程学院四系三教 信息工程学院四系三教 更新过程（Renewal Process) 更新过程（Renewal Process) 更新过程的定义与性质 1 更新函数的性质 2 3 4 停时与Wald等式 年龄和剩余寿命 * 知识回顾 —— 泊松过程 定义(三) : 设 是相互独立且服从均值为 的指数分布的随机变量序列，令 进一步令 证明 是参数为 的泊松过程。 * 1. 更新过程的定义 定义：设 是独立同分布、取值非负的随机变量，分布函数为 且 令 对任意 ，记 则称 为更新过程。 * 1. 更新过程的定义 更新间隔 更新点 保证更新间隔不会退化到零点。 * 更新过程（Renewal Process) 更新过程的定义与性质 1 更新函数的性质 2 3 4 停时与Wald等式 年龄和剩余寿命 * 2. 更新函数 定义：若 是更新过程，则称 为更新函数，称 为更新强度函数。 * 2. 更新函数 定理：对任意的 ，有 证明： * 2. 更新函数 例：设 是参数为 的泊松过程,则 于是有 * 更新方程 定理：设更新间隔的分布函数为F(t)，则相应的更新函数m(t)满足 证明：考虑用第一个更新间隔作为条件， 更新方程 * 更新方程 利用全概率公式可得 前面的m(t)表达式就是该积分方程的解！ * 更新过程（Renewal Process) 更新过程的定义与性质 1 更新函数的性质 2 3 4 停时与Wald等式 年龄和剩余寿命 * 3. 停时与Wald等式 定义： 整值随机变量N称为随机序列 的停时，若对于任意的整数n，事件 与 相互独立。 特别，若随机变量N与随机序列 相互独立，则N是序列 的停时。 * 2、停时的直观意义 停时的直观含义是：对 进行观察，期待某个结果，一旦结果出现便停止观察。记录所需观察次数为N, 则N是取整值的随机变量。 事件 表示观察要进行n次； 与 独立则说明所期待的结果在第n次观察时能否出现是由 决定的，而  独立。 3. 停时与Wald等式 * 3. 停时与Wald等式 例: 设 相互独立且使得 若令 则N是一个停时。 我们可以将N看作连续地抛掷一枚均匀硬币的试验的停时，试验在正面出现次数达到10次时停止。 * 3. 停时与Wald等式 例：设 是非负随机变量， 是其相应的更新过程。则 是 的停时。 证明： 于是事件 只依赖于 与 独立。 * 3. 停时与Wald等式 定理（ Wald等式）若 是独立同分布的随机变量序列，期望有限，N是 的停时，满足 ，则 证明：令 * 信息工程学院四系三教 信息工程学院四系三教 信息工程学院四系三教