第七章 重积分 复习知识.ppt

复习 二重积分的计算 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是： ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限 主要内容 被积函数呈 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 积分区域为圆形、扇形、圆环形 1.关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑 2.关于积分次序的选择 选序原则 ①能积分，②少分片，③计算简 3.关于积分限的确定 二重积分的面积元 为正 确定积分限时一定要保证下限小于上限. ②极坐标系 积分次序一般是 过极点O作任一极角 为 的射线 从D的边界曲线 穿入 从 穿出 ——内下限 —内上限 具体可分为三种情况 ⑵极点在D的边界上 是边界在极点处的切线的极角 绝大多数情况下为0 ⑶极点在D的内部 化累次积分后 外限是常数 内限是外层积分变量的函数或常数 极坐标系下勿忘 r ⑴极点在D的外部 4.关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用 对 ①若D关于 x 轴对称 ②若D关于 y 轴对称 ③若D关于原点对称 ——称为关于积分变量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质 简述为“你对称，我奇偶” ①、②、③简单地说就是 ④若 D 关于直线 y = x 对称 5 关于二重积分的换元法 f(x,y)在D上连续 变换T： x=x(u,v),y=y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域D1 变成 xoy 平面的闭区域D （1） x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上具有连续的一阶偏导数 （2）在D1上 基本要求:变换后定限简便，求积容易． 注意 二重积分 例题分析 例1 计算 解 积分区域由不等式给出 在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆 但它们围不成区域 都有意义 必须限制 因此D只能在x=0 ， x=2 之间 确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单 显然 r 呢？ 极点在D的边界上，所以 那就错了 不能以为极点O在区域的边界上 就误以为对 r 积分的下限为0 定 r 的积分限，应先固定 以原点为起点作射线 这射线和两个半圆相交 穿入 从 从 穿出 积分限如何确定 尽管极点在D的边界上 但极角为 的射线并不是从极点穿入 而不是 域D的极坐标表示为 解 D关于 x , y 轴及原点及 y = x 对称 故 故 例2 计算 解 例3 计算 D1 D2 解 D的边界 极点在D的边界上 圆周在(0, 0)的切线斜率为 故 例4 计算 解 例4 计算 （和差化积） 例5 计算 D2 D1 解 例6 设 f (x) 在 [0,1] 上连续 求 解 D 例6 设 f (x) 在 [0,1] 上连续 求 解 试将二重积分 化成定积分 解 由积分域和被积函数的对称性 有 用极坐标 例7