第七章 节 重积分1-2.ppt

例1. 计算 解:　令 解 解 积分区域如图 解 积分区域如图 例1. 求由曲线 所围成的平面图形的面积A. 解: 由 故所求面积为图中的阴影部分D. x 0 y 2 y=2x 3 4 5 联立方程组，求交点： x 0 y 2 y=2x 交点为(2, 4), (3, 2), (5, 10). 3 4 5 故所求面积 x 0 y 2 y=2x 3 4 5 解 原式 解 解 曲面围成的立体如图. 例4. 交换下列积分的积分顺序： 解: 由积分可知，积分区域D为 它是由直线 y = 0, y = 1及曲线 x 0 y y = 1 1 D2 D3 D1 解方程组得交点： 联立方程组 x 0 y y = 1 1 D2 D3 D1 利用直线 将区域D分成D1，D2 和D3三个部分： x 0 y y = 1 1 D2 D3 D1 于是 x 0 y y = 1 1 D2 D3 D1 (5)对称区域的二重积分 (5)对称区域的二重积分 (5)对称区域的二重积分 例12 计算 解 根据积分区域的特点 1 4 -1 2 应先对 x 后对 y 积分 但由于 对 x 的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。 先 x后y有 关于y是奇函数，积分区域关于x轴对称 1 4 -1 2 两个直交圆柱体所围立体 计算圆柱面 被圆柱面 解 由对称性可知V=8V1 曲面A1 的方程 例5 所截的部分的体积。 x y 0 三个直交圆柱体所围立体 解 P48 x y 0 解 P48 x y 0 设D为有界闭区域，z=f(x,y)在D连续。 2.极坐标下的计算公式 (1)极坐标下分割区域D (2) D的面积 (3)极坐标下的二重积分 设直角坐标系下二重积分 的积分区域 Dxy 经变换 变成极坐标系下的区域 3.利用极坐标计算二重积分 因为 故得利用极坐标计算二重积分的公式 其中 r,? 的累次积分上下限的确定不外乎下列诸情形之一. (4)积分区域的几种特殊情况 (i)D为环形域 R1 R2 r o A (ii)D为关于极点的星形域 θ O r r=r(θ) o r (iii)极点在D的边界曲线r=r(θ)上 r=r(θ) β α o A P4习题4. 证明:反证法 1.直角坐标系下的计算公式 §2 二重积分的计算 (1). x－型区域 与 y－ 型区域 x－型区域：穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个。 D表示为：a?x?b ?1(x)?y??2(x) x o y D y=?2(x) y=?1(x) a x b 1.直角坐标系下的计算公式 D：c ? y ? d ?1(y) ? x ? ?2(y) y－型区域 x o y c d D x=?2(y) x=?1(y) y y x z o (2). 计算公式的推导 (1) 设f (x, y)?0, D为x–型区域 从几何意义考虑，求曲顶柱体体积 用平面x = x0截曲顶柱体，得一截面 x0 a b y=?2(x) y=?1(x) ?1(x0) ?2(x0) A(x0) y x z o x0 a b y=?2(x) y=?1(x) ?1(x0) ?2(x0) A(x0) 此截面面积为A(xo)，则将之投影到Oyz平面上， 曲边梯形由y = ?1 (xo), y=?2(xo), z = 0, z = f (xo, y)围成， 故 y x z o x0 a b y=?2(x) y=?1(x) ?1(x0) ?2(x0) A(x0) y x z o x0 a b y=?2(x) y=?1(x) ?1(x0) ?2(x0) A(x0) 故体积为 记为 y x z o x0 a b y=?2(x) y=?1(x) ?1(x0) ?2(x0) A(x0) 二重积分化为累次积分的几何解释 y x z o x0 a b y=?2(x) y=?1(x) ?1(x0) ?2(x0) A(x0) 二重积分化为累次积分的几何解释 y x z o x0 a b y=?2(x) y=?1(x) ?1(x0) ?2(x0) A(x0) 二重积分化为累次积分的几何解释 y x z o x0 a b y=?2(x) y=?1(x) ?1(x0) ?2(x0) A(x0) 二重积分化为累次积分的几何解释 所以，二重积分的计算公式为(f (x, y) 任意符号) (1) (2) 同理，对y–型区域D：c? y ? d, ?1(y) ? x ? ? 2(y) (2) (3) 当D既是x－型区域：a?x?b, ?1(x) ? y? ?2(x) (3) 又是 y－型区域：c?y?d, ?1(y) ? x? ?2(y) 有 x o y y=?