第8章 节 -多元函数微分学及其应用 高等数学.ppt

例2 设 解 设 例3 设 证明 3 复合函数的中间变量既有一元函数又有 多元函数的情形 定理3 设函数 例4 设 解 注: 定理3可推广到复合函数的中间变量多于两个 的情形. 设函数 u=u (x, y)在点(x, y)的两个偏导数都存在， 函数 z = f (u, x, y)在点 (u, x, y)可微，则复合函数 z = f (u(x, y), x, y)在(x, y)的两个偏导数都存在,且 注 二元复合函数 z = f (u(x,y), x, y) 对x (将y看作常量) 与对y (将x看作常量)的偏导数;后者是以u、x、y为 自变量的三元函数z = f (u, x, y)对x(将u,y看作常量) 与对y (将u、x 看作常量)的偏导数. 二 全微分形式的不变性 变量,那么, 全微分可表为 其中 于是 例5 设 的所有偏导数连续，求 解 三 隐函数的微分法 定理1 (隐函数存在定理1) 设函数F(x, y)满足: (1) 在点P0(x0, y0)的某一邻域 内具有连续偏导数; (2) F(x0, y0) = 0; (3) Fy(x0, y0) ? 0， 则方程 F(x, y) =0 在点 P0(x0, y0)的某一邻域内 唯一确定一个具有连续导数的函数y= f (x),它 满足F(x, f (x)) ? 0, y0= f (x0),且 注: 如果F(x, y)的二阶偏导数连续，那么, 还可 求隐函数 y= f (x) 的二阶导数. 例6 求方程 所确定的隐函数 y= f (x) 的一阶与二阶导数. 解 设 两边对x求导得 代入上式得 将 定理2（隐函数存在定理2） 设函数F(x, y,z)满足: (1) 在点 (2) (3) 唯一地确定一个具有连续偏导数的函数z =f (x,y), 例7 求由方程 所确定的隐函数 z = z(x,y)的偏导数 解 设 则 故 §5 多元函数微分学的几何应用 一 空间曲线的切线与法平面 1. 设空间曲线Γ的参数方程为 均可导且其导数不同时为零. 考察Γ上对应于 t=t0 时点P的切线方程.设Γ上对 割线PM的方程为 当点M沿着Γ无限趋近于P时，割线PM的极限 切线的方向向量称为曲线的切向量.过点P0而 与切线垂直的平面称为曲线在点P的法平面. 法平面方程： 2. 设空间曲线Γ的方程为 、 处的切线方程及法平面方程分别为 例1 求螺旋线 处的切线方程与法平面方程. 解 曲线上对应于 在点P的一个切向量为 在点P处的切线方程为 法平面方程为 即 二 曲面的切平面与法线 设曲面∑的方程为 是曲面∑上的一点. 又设 的偏导数在点M连续且不同时为零. 在曲面∑上 通过点M任作一条曲线Γ,设Γ的参数方程为 那么 是Γ的切向量.又 s y z x o M n Σ Γ 与Γ的切向量 曲面∑上过M的任意一条切线均与一个常向量垂直. 这些切线在同一个平面内，这个平面称为曲面∑在 点M的切平面. 曲面∑在点M的切平面方程为 过点M且垂直于切平面的直线称为曲面∑在该点 的法线. 该法线方程为 与曲面在点M处的切平面垂直的非零向量称为在点 M处的法向量. 故n是曲面∑在点M处的一个法向量. 设曲面∑的方程为: 于是，曲面∑在点M的一个法向量为 从而, ∑在点M的切平面方程和法线方程分别为 例2 求旋转抛物面 处的切平面方程和法线方程. 解 切平面方程为 即 法线方程为 例3 求椭球面 的切平面方程. 解 曲线在点M处的切线MTx 对x轴的斜率. 则导数 就是这 是曲面被平面x =x0所截 偏导数 曲线在点M处的切线MTy对y轴的斜率. z = f (x, y0), 此曲线在平面y＝ y0上的方程为 三 多元函数偏导数与一元函数的导数的差异 例3 已知理想气体的状态方程 求证 证明 注1: 偏导数的符号是一个整体记号. 例4 求函数 在点(0,0)的两个偏导数 . 解 注2: 多元函数的各偏导数在某点都存在,不能保 证函数在该点连续. 四 高阶偏导数 设函数z = f (x, y)在区域D内具有偏导数 在D内 如果它们的偏导数也存在,则称它们是z = f (x, y) 的二阶偏导数. 函数z = f (x, y)的二阶偏导数有: 其中fxy(x, y) 与 fyx(x, y)称为混合偏导数. 二阶和二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 继续求对x和y的偏导数(如果存在),可得三阶偏导数. 例5 设 解 注: 并非任何二阶混合偏导数都相等. 定