高等代数 第九章 欧氏空间 第9.5节.ppt

主要内容 第五节 子 空 间 正交子空间 正交补 一、正交子空间 1. 定义 定义 10 设 V1 , V2 是欧氏空间 V 中两个子 空间，如果对于任意的 ? ? V1 ，? ? V2 ，恒有 (? , ? ) = 0 . 则称 V1 , V2 为正交的，记为 V1 ? V2 . 一个向量 ? ，如果对于任意的 ? ? V1 ，恒有 (? , ? ) = 0 . 则称 ? 与子空间 V1 正交，记为 ? ? V1 . 因为只有零向量与它自身正交，所以由V1 ? V2 可知 V1 ∩ V2 = { 0 } ; 由 ? ? V1，? ? V1 可知 ? = 0 . 2. 正交子空间的性质 关于正交的子空间，我们有： 定理 5 如果 V1 , V2 , … , Vs 两两正交，那么 V1 + V2 + … + Vs 是直和. 证明 设 ?i ? Vi ，i = 1, 2, … , s , 且 ? 1 + ? 2 + … + ? s = 0 . 下面来证明 ? i = 0 . 用 ? i 与等式两边作内积，利 用正交性，得 (? i , ? i) = 0 . 从而 ? i = 0 ( i = 1, 2, … , s ) . 这就是说，和 V1 + V2 + … + Vs 是直和. 证毕 二、正交补 1. 定义 定义 11 子空间 V2 称为子空间 V1 的一个正 交补，如果 V1 ? V2 ，并且 V1 + V2 = V . 显然，如果 V2 是 V1 的正交补，那么 V1 也是 V2 的正交补. 2. 正交补的性质 定理 6 n 维欧氏空间 V 的每一个子空间 V1 都有唯一的正交补. 证明 如果 V1 = { 0 }，那么它的正交补就是 V，唯一性是显然的. 设 V1 ? { 0 }. 欧氏空间的子 空间在所定义的内积下也是一个欧氏空间. 在 V1中 取一组正交基 ?1 , ?2 , …, ?m , 由 它可以 扩充成V 的一组正交基 ?1 , ?2 , … , ?m , ?m+1 , … , ?n . 显然，子空间 L(?m+1 , … , ?n) 就是 V1 的正交补. 再来证唯一性. 设 V2 ，V3 都是 V1 的正交补， 于是 V = V1 ? V2 ， V = V1 ? V3 . 令 ? ? V2 ，由第二式即有 ? = ?1 + ?3 ， 其中 ?1 ? V1 ，?3 ? V3 . 因为 ? ? ?1 所以