第2章第2节 拉普拉斯积分变换.ppt

第2章动态系统的数学模型 2.2拉普拉斯积分变换 2.2拉普拉斯积分变换 2.2.1拉氏变换的定义及意义 如果有一个以时间t为自变量的实变函数f(t)，它的定义域是t≥0，那么f(t)的拉普拉斯变换定义为 上式表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把实数域中的一个实变函数f(t)变换为一个在复数域内与之等价的复变函数F(s)。 2.2.1拉氏变换的意义 1、数学工具，能将时域中函数的微积分运算转化 为复数域中的代数运算。 2、能将描述系统动态微分方程方便的转化为系统传递函数，为间接分析控制系统性能、参数提供工程方法。 2.2.2 常用典型函数的拉氏变换 1.指数函数eat 工程中的重要函数，其微分和积分与自身成比例 2.2.2 常用典型函数的拉氏变换 2.阶跃函数 阶跃函数是控制工程中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为 单位阶跃函数，并用1(t)表示，定义为 单位阶跃函数的拉氏变换为 2.2.2 常用典型函数的拉氏变换 3.斜坡（速度）函数 斜坡（速度）函数的拉氏变换为 当A＝1时，称为单位斜坡函数 4.加速度函数 加速度函数的拉氏变换为 5.谐波函数 正弦函数和余弦函数统称为谐波函数。根据欧拉（Euler）公式，有 按拉氏变换的定义，正弦函数和余弦函数的拉氏变换分别为 常用的拉氏变换对照表（课本P33） 2.2拉普拉斯积分变换 2.2.3拉氏变换的运算定理 1.线性定理 拉氏变换是线性变换，因此也服从线性函数的齐次性和叠加性。 （1）齐次性。 若 则 2.2拉普拉斯积分变换 2.2.3拉氏变换的运算定理 （2）叠加性。 若 则 因而有线性定理 2.2拉普拉斯积分变换 2.微分定理 若 则 同样地，函数f(t)的各阶导数的拉氏变换为 2.2拉普拉斯积分变换 3.积分定理 4.延迟定理 对于函数f(t)，函数f（t－τ）称为平移函数或延迟函数。 延迟定理为： 若 则有 5.位移定理 设 则有 6.初值和终值定理 7.卷积定理 2.2拉普拉斯积分变换 2.2.4拉氏反变换及其求法 1.求反变换的基本步骤 （1）求F(s)的极点 在控制工程中，F(s)的一般形式为 则 2.2拉普拉斯积分变换 （2）将F(s)展成部分分式，即 （3）求出待定系数ci （4）查拉氏变换表和利用性质定理求反变换。 2.待定系数的求法 （1）对于F(s)中只有简单极点的情况。 F(s)的部分分式为 于是求ci的步骤为： ①用(s +pi)乘上式两边 ②令s → pi ，两边取极限 （2）对于F(s)中含有共轭复数极点的情况。 可以采用上述简单极点情况的求法。 另一种方法。如果F(s)有一对共轭复数极点-p1、-p2，而其余极点均为简单实数极点，则F(s)可展成如下形式，即 用（s＋p1）（s＋p2）乘上式两边，并取s→ -p1或s→ -p1的极限，可得： 因为－p1（或－p2）是复数，故式（2-62）两边都应该是复数，复数相等有 2.2.5应用拉氏变换求解运动微分方程 应用拉氏变换求解线性微分方程的步骤如下：