计量经济学讲义(第四讲).ppt

3、参数 协方差的估计。 由 可知它由随机误差项的方差乘以矩阵 构成。因此， 的主对角元素即是每个 的方差。 即 三、参数估计的统计性质 1、线性特征 由于X是解释变量，为非随机， 是(k+1)×n 常数矩阵 因此， 是样本观测值Y的线性函数。 三、参数估计的统计性质 2、无偏性 由 即得无偏性。 三、参数估计的统计性质 3、有效性（高斯-马尔科夫定理） 证略。 四、判定系数与拟合优度 1、判定系数（R-square） 四、判定系数与拟合优度 2、自由度调整的判定系数 （Adjusted R-square） * 计量经济学讲义 Econometrics 许秀川 西南大学农学与生物科技学院 第四讲 多元线性回归模型 一、多元线性回归模型 二、参数的OLS估计及相关方差 三、参数估计的统计性质 四、判定系数与拟合优度 五、显著性检验 一、多元线性回归模型 1、多元线性回归模型的数学形式为： 为解释变量,Y 为被解释变量, 为待估计参数, 为常数项, 为随 机误差项。 一、多元线性回归模型的数学表达式 若观测值为n组 则上式变为： 展开写为： 1、多元线性回归模型的数学形式 采用矩阵形式可写为： 2、多元线性回归模型的经典假设 I. II. III. 均为非随机变量。 IV. 服从正态分布。 V. Rank( )=k+1, 即 是满秩矩阵，无多重共线性。 2、多元线性回归模型的经典假设 II. 2、多元线性回归模型的经典假设 多元正态分布 二、参数的OLS估计及相关方差 1、参数的OLS估计 由总体模型 得样本模型为 二、参数及其方差的OLS估计 因为 ， 均为1×1矩阵，即是一个数，所以它们相等，因此： 补充：多元数量值函数与二次型求导。 （1）多元数量值函数求导 多元数量值函数也就是多元函数，如： 令 则定义其对列向量X求导： （1）多元数量值函数求导 定义其对行向量 求导： （1）多元数量值函数求导 根据多元数量值函数导数的定义 它是一个向量，也称为梯度(gradient)， 记作： 再看Q中的多元函数求导 令其中的 则 （2）二次型 定义：所有二次齐次多项式称为n元二次型，简称二次型。 令 由于 二次型可以写成： 令 由于 二次型可以写成矩阵形式： 令 由于 因此，二次型矩阵是对称的。令 二次型可以写成矩阵形式： 对二次型进行求导，以二元为例： 可以验证，对于多元二次型求导，有同样的结果： 其中： 再看Q中的多元函数求导 令其中的 令 则 有 综合前述结果，多元函数Q对 求导: 则 代入 得： 2、随机误差项 方差的估计。 因为 无法观测，我们从残差e入手去估计它的方差。 证： 则 有以下性质： 1、对称性 用到对称阵的逆阵仍是对称阵这个性质。求逆和求转置可以互换顺序。 令 注意到前面有： 则 有以下性质： 2、幂等性： 令 即用 乘以 得到残差 ，所以又把 叫做投影阵，将 投到 张成的子空间 。 注意到前面还有： 用 矩阵的两个性质，寻找 方差的估计。 则 所以 由 得 考察M的主对角元素和 ，即M矩阵的迹。 由矩阵的迹性质：tr(A+B)=tr(A)+tr(B) tr(AB)=tr(BA) 所以 得到 由 是 的无偏估计。 令 所以 3、参数 协方差的估计。 因为 3、参数 协方差的估计。 由 *