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数学史的第一讲
历史学家往往把起源于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。早期数学,就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江,印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。从可以考证的史料看,古埃及与美索不达米亚的数学在年代上更为久远,只是在公元前均告衰微,崛起稍晚的中国与印度数学则延续到纪元之后并在中世纪臻于高潮。因此为叙述连贯起见,我们在本章中主要介绍古埃及与美索不达米亚的数学,而将古代中国与印度数学放到中世纪的章节中一并讲述。 在青铜时代,随着社会的进步和经济的发展,分数的概念与分数记号也应运而生。 单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。他们将所有的正分数都表示为一些单位分数的和。 埃及人最基本的运算是加法。乘法运算是通过逐次加倍的程序来实现。在除法运算中,加倍程序被倒过来执行,即除数取代了被除数的地位被拿来逐次加倍。 莱茵德纸草书中有些问题显示了埃及人运用加倍程序与单位分数概念而展开的熟练的计算技巧。 纸草书中有些问题可以被归之于我们今天所说的代数学的范畴,它们相当于求解形如x+ax=b或x+ax+bx=c的一次方程。在解这一类方程中,纸草书的作者所用的解法实质上是一种算术方法——“假位法”。(何为假位法?) 埃及人还发展了卓越的几何学。有一种观点认为,尼罗河水每年一次的定期泛滥,淹没河流两岸的谷地。大水过后,法老要重新分配土地,长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。 古埃及人留下了许多气势宏伟的建筑,其中最突出的是约于公元前2900年兴建于下埃及的法老胡夫的金字塔,高达146.5米,塔基每边平约宽230米,任何一边与此数值相差不超过0.16米,正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。与金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神庙。其中卡尔纳克的神庙主殿总面积达5000平方米,有134根圆柱,中间最高的12根高达21米。这些宏伟建筑的落成,也离不开几何学知识。 莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中包含有许多几何性质的问题,内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关。 现存的纸草书中还可以找到正方形、矩形、等腰梯形等图形面积的正确公式。 埃及人对圆面积给出了很好的近似。莱茵德纸草书第50题假设一直径为9的圆形土地,其面积等于边长为8的正方形面积。如果与现代公式 相比较,就相当于取π值为 。 他们还知道如何计算棱锥、圆锥、圆柱体及半球的体积。其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算,他们给出的计算过程与现代的公式相符。 埃及人在体积计算中达到了很高的水平,代表性例子是莫斯科纸草书的第14题。这道题给出了计算平截头方锥体积的公式,用现代符号表示相当于: 这里h是高,a、b是底面正方形的边长。这个公式是精确的,并且具有对称的形式。在距今四千年前能够达到这样的成就是令人惊讶的。因此,数学史家贝尔称莫斯科纸草书中的这个截棱锥体为“最伟大的埃及金字塔”。(在英文中棱锥体和金字塔是同一个单词:pyramid) 埃及数学是实用数学。古埃及人没有命题证明的思想,不过他们常常对问题的数值结果加以验证。 另外,虽然纸草书中的问题绝大部分是实用性质,但也有个别例外,例如莱茵德纸草书第79题:“7座房,49只猫,343只老鼠,2401颗麦穗,16807赫卡特”。 有人认为这是当时的一个数谜:7座房子,每座房里养7只猫,每只猫抓7只老鼠,每只老鼠吃7颗麦穗,每颗麦穗可产7赫卡特粮食,问房子、猫、老鼠、麦穗和粮食各数值总和。也有将房子、猫等解释为纸草书作者赋予不同幂次的名称,即房子表示一次幂,猫表示二次幂,等等。无论如何,这是一个没有任何实际意义的几何级数求和问题,带有虚构的数学游戏性质。 埃及文明在历代王朝的更迭中表现出一种静止的特性,这种静止特性也反映在埃及数学的发展中。莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学,就像祖传家宝一样世代相传,在数千年漫长的岁月中很少变化。加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块,使古埃及人的计算显得笨重繁复。古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似公式往往不作明确区分,这又使它们的实用几何带上了粗糙的色彩。这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发展。公元前4世纪希腊人征服埃及之后,这一古老的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。 大多数文明普遍采用十进制,但美索不达米亚人却创造了一套以60进制为主的楔(xie)形文字记数系统。 美索不达米亚人的记数制的巧妙之处,是同一个记号根据它在数字表示中的相对位置赋予不同的值,这种位置原理是美索不达米亚数学的一项突出成就。 美索不达米亚人的记数制远胜埃及象形文字之处还在于他们巧妙地将位值原理推广应用到整数以外的分数。美索不达米亚人对分数跟对整数一样能
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