研究生数值分析第6章.doc

第六章 数值积分 §6.1 数值积分基本概念 一、引言 计算定积分可用牛顿—莱布尼兹公式来计算: 其中F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得。而在实际问题中，大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如概率统计中常用的概率积分，及积分 等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。 本章主要介绍：求积公式及其误差估计、求积公式的代数精度、收敛性及稳定性、Romberg求积法与外推原理。 二、插值求积公式 在区间[a,b]上的定积分，其某个数值积分公式就是在区间[a,b]内取n+1个点.利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即 （6.1.3） 右端公式称为左边定积分的某个数值求积公式。其中,xk称为积分节点，Ak称为求积系数。因此，数值积分公式关键在于积分节点xk的选取和积分系数Ak的决定，其中Ak与被积函数f(x)无关。 为得到求积公式，我们可在区间[a,b]上用Lagrange插值多项式，得 ，其中 我们称这个求积公式为插值求积公式。此时，插值余项为： 三、积分公式的代数精度 定义1：若的数值积分公式对任意一个次数不高于m次的多项式都精确成立，而存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精度为m． 对于代数精度为m的求积公式，若f(x)是不超过m次的代数多项式，求积公式是精确成立的。 例1 有积分公式:,求该积分公式的代数精度。 这个求积公式的几何意义是：曲边梯形的面积近似地用两个梯形面积来代替。 解：(1)取f(x)=1，定积分,而数值积分，两端相等； (2)取f(x)=x，定积分,而数值积分，两端相等； (3)取，定积分, 而数值积分，两端不相等； 只要取f(x)=1，f(x)=x验证了上述求积公式精确成立，就意味着对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；而取时求积公式不精确成立，也就是存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精度为1。 例2 在如下求积公式中，求节点和相应的求积系数，使其代数精度尽可能高。 解：(1). f(x)=1, ,而数值积分为；得到方程； (2).f(x)=x，，而数值积分为；于是得到方程 (3).，，而数值积分为；于是得到方程； (4).，，而数值积分为；于是得到方程； 综合上述方程： 得 得 得 ，，由的对称性，及得 ；代入(2)得，又由(1)，解得: 。于是我们得到积分公式： 。 再取，有，而数值积分为，两式不相等，求积公式不精确成立了。所以，该积分公式的代数精确度为3。 定理1 求积公式（6.1.3）是插值求积公式的充要条件是（6.1.3）至少有次代数精度。 证明：当时，，公式精确成立，所以（6.1.3）至少有次代数精度。 反之，若（6.1.3）至少有次代数精度，则，（6.1.3）精确成立，这时取为插值基函数即知，，所以（6.1.3）是插值求积公式。 四、求积公式的收敛性与稳定性 定义2 若，则称求积公式（6.1.3）是收敛的。 稳定性是研究计算和式，当有误差时，的误差是否增长。现设，误差为． 定义3 对只要就有，则称求积公式（6.1.3）是数值稳定的。 定理2 若求积公式（6.1.3）的系数，则（6.1.3）是数值稳定的。 证明：由于，，所以 于是，对只要，就有，即 求积公式（6.1.3）是数值稳定的。 §6.2 梯形公式与Simpson求积公式 一、Newton—Cotes公式与Simpson公式 Newton—Cotes公式是由拉格朗日插值公式推导出来的一个系列求积公式。 将区间[a,b]等分n等份,记,分点为,k=0,1,...,n,这n+1个节点上的函数值为 ,从而区间[a,b]上的拉格朗日插值多项式为其中,为插值基本多项式,与函数f(x)无关,k=0,1,...,n。 由于插值结点是等距节点，故插值多项式可以进一步化简:因为，，故， 因，作变量代换，，当时，t=0；当x=n时，t=n；故 记，我们称为柯特斯（Cotes）系数，其不仅与函数f(x)无关，而且与积分区间[a,b]无关。 例:n=1时， ,; n=2时， ,,; n=3时， ，， ，； 的柯特斯系数见表6—1，时出现负数。 一般地，我们有n阶Newton—Cotes公式： 这是一类数值求积公式。 二、Cotes系数的性质 引理 n阶Newton—Cotes公式的代数精度至少是n。 证明 若是一个次数不超过n的多项式，则，其拉格朗日插值公式的插值余项为： 故，这是对一切x均相等，精确成立。所以， 即，数值积分公式的值精确地等于定积分的值，故n阶Newton—Cotes公式的代数精度至少是n。 结论 当n为奇