试验五定积分的近似计算.doc

定积分的近似计算 我们已经学习了定积分的基本概念和定积分的计算方法，那里所谓的计算方法，是基于原函数的牛顿-莱布尼兹公式。但在许多实际问题中遇到的定积分，被积函数往往不用算式给出，而通过图形或表格给出；或虽然可用一个算式给出，但是要计算它的原函数却很困难，甚至于原函数可能是非初等函数。本实验的目的，就是为了解决这些问题，介绍定积分的“数值积分”，即定积分的近似计算。 所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计。我们知道，定积分在几何上表示曲线，直线及x轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值。 观察黎曼和式的收敛性 由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式的极限，因此可以用黎曼和式来近似计算定积分。为计算方便，这里特殊的，将积分区间等分为段，并以小区间中点处的函数值作近似，于是黎曼和式为：， 因而 。 计算的黎曼和。 解：输入命令如下： 上述命令是将区间[2, 3]等分为200段，运行求得黎曼和为：1.11842。 梯形法 大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似，上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式。如果不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分的一个较好的近似方法——梯形积分法。具体方法如下： 将区间用等分为n个小区间，小区间的长度为。设，则每个小梯形的面积为，从而得到梯形法的公式为： 。 下面来估计梯形法的误差。第个小曲边梯形的面积为，做变换，则，当在区间上连续时，利用分部积分法可以证明： 。 设为在区间上的最大值，则第个小曲边梯形与相应的梯形面积之差的绝对值估计如下： 于是，梯形法的绝对误差为。 用梯形法近似计算，要求误差不超过。 解：设，则，显然在区间上的最大值为。下面我们根据梯形法利用Mathematica编程，在程序中，定义了等分时的梯形公式，并采用“Do”命令进行循环直到满足精度要求或达到预定的循环次数为止，每次循环要求输出及。输入命令如下： 从运行结果看，循环到100次结束，最后输出“fail”，这表明没有达到精度要求，如把n0的值改为200，再次运行，发现循环到n=130时结束，此时达到精度要求，积分的近似值为：1.11843。 抛物线法 梯形法的近似过程是在每个小区间中用直线段来近似被积函数段，即逐段地用线性函数来近似被积函数。为了进一步提高精确度，可以考虑在小范围内用二次函数来近似被积函数，这种方法称为抛物线法，也称为辛普森（Simpson）法。具体方法如下： 用分点，将积分区间n等分（这里要求n为偶数），各分点对应的函数值为，即。我们知道平面上三点可以确定一条抛物线，而相邻的两个小区间上经过曲线上的三个点，则由这三点做抛物线（因此抛物线法必须将区间等分为偶数个小区间），把这些抛物线构成的曲边梯形的面积相加，就得到了所求定积分的近似值。 下面计算在区间上以抛物线为曲边的曲边梯形面积。为此，先计算区间上，以过三点的抛物线为曲边的曲边梯形面积： ， 由得： 故。 取，则上面所求的等于区间上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积。同理可以得到区间上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积： 。 于是，将这个曲边梯形的面积加起来，得到定积分的近似值为（设）： 。 上式称为辛普森公式或抛物线公式。用这个公式求定积分的近似值时，其绝对误差可以证明不超过，其中是在区间上的最大值。 用抛物线法近似计算，要求误差不超过。 解：设，可由命令D[f[x],{x,4}]得到的四阶导函数为： ，显然在区间上的最大值为。下面根据抛物线法的思想利用Mathematica编程，在程序中，与例2一样，定义了等分时的抛物线公式，并采用“Do”命令进行循环直到满足要求或达到预定的循环次数为止，每次循环要求输出及。输入命令如下： 从运行结果看，循环到时因达到精度要求结束循环，并得到积分的近似值为：1.11843。从例2、例3可以看出，抛物线法比梯形法收敛的要快，这与实际情况也是相符的。 最后，我们再说明一点，在Mathematica内部有一个数值积分的命令“NIntegrate”，例如要计算，我们可以调用命令： 或者我们可以通过基本输入模板直接输入积分符号：，字母“N”是表示输出的结果为实数的形式。运行后均得结果1.11842。 虽然使用内部的命令计算数值积分非常方便，但是误差估计不明显，而且作为一个大学生，应该要知道隐藏在命令后面的原理。因此掌握本实验介绍