试验三泰勒公式与函数逼近.doc

泰勒公式与函数逼近 本实验的目的是: 利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 一个函数若在点的邻域内足够光滑，则在该邻域内有泰勒公式 ， 当很小时，有 ， 其中，称为在点处的n阶泰勒多项式；为余项。 例1 （泰勒公式的误差）利用泰勒多项式近似计算。若，要求误差。 解：我们根据拉格朗日余项可得，欲使，只要取即可。下面的Mathematica语句利用函数的5阶泰勒多项式来近似计算的值，并判断误差： 输出结果为： 输出结果每一行的最后一项表示误差，从结果中可以看出，当，其误差。 例2 （观察阶数n对误差的影响）利用函数的n阶多项式计算e的值，并求误差。（n=5,6,7,8,9,10） 解：为此，我们输入Mathematica语言如下： 输出结果为： 从结果中可知，阶数越高，误差越小。 例3（根据图形观察泰勒展开的误差）观察的各阶泰勒展开的图形。 解：（1）固定，观察阶数的影响。 因为在处的偶数阶导数为零，所以首先我们在同一坐标系内显示函数及它的阶泰勒多项式的图形。故输入命令如下： 上述语句中的函数“PrependTo[t,Sin[x]]”是表示把函数添加到表t中。运行后得到图3-1。 图3-1 为了使图形比较更加生动，下面我们作出和它的某一阶泰勒多项式的同一坐标系下的比较图，并且在图中红色曲线表示函数的图形，蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。命令如下： 运行后得到了六幅图（图3-2），从图表中可以观察到泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况，显然在范围内，第五幅图中两个函数的图形已经基本上吻合了，也就是说，的9次多项式与函数几乎无差别。 图3-2 （2）扩大显示区间范围，以观察在偏离展开点时泰勒多项式对函数的逼近情况。 显然，我们只要把上一个程序中的绘图命令中的范围由分别改到，并相应增加阶数。故输入如下命令： 运行上面程序，绘出了从7阶直至17阶的泰勒多项式与的比较图（图3-3），观察图表可得，在区间范围内，的17次多项式与函数吻合得很好了。 图3-3 （3）固定，观察对函数逼近的影响。 在下面的语句中，为了方便调用的泰勒多项式，首先定义了的泰勒展开函数tt，然后用不同的颜色在同一坐标系中画出了及的分别在处的6阶泰勒多项式的图形： 输出的结果如图3-4所示。 图3-4 从本实验我们可以得到一些结论，函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高，但是对于任一确定的次数的多项式，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。 实验习题3 对重复上面的实验。 作出函数的函数图形和泰勒展开式（选取不同的和值）图形，并将图形进行比较。