线性方程组的解线性方程组的一般形式为Ⅰ还可表示为Ax.doc

第四节 线性方程组的解 线性方程组的一般形式为 （Ⅰ） 还可表示为 Ax(b( 其中被称为系数矩阵。 称为增广矩阵。 ， 当b (0时，称方程组Ax(0为齐次线性方程组， 当b≠0时，称方程组Ax(b为非齐次线性方程组。 如的系数矩阵是，是非齐次线性方程组。 如的系数矩阵是，是齐次线性方程组。 第一章介绍了利用行列式的性质来讨论线性方程组的解，下面我们将介绍利用矩阵的性质来讨论线性方程组的解。 定理5 设线性方程组（Ⅰ）的增广矩阵可由初等变换化为，则Ax(b与Bx(d是同解的方程组 注意：如果是齐次线性方程组b (0，只需对其系数矩阵进行初等变换换。 定理5可知求解线性方程组无论是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组，首先将其系数矩阵A或增广矩阵施以初等行变换化简成为行最简形矩阵，再利用系数矩阵的秩数讨论其解。下面分别讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的情况。 1. 齐次线性方程组的解 定理6 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R(A)(n 。 证明：必要性 已知方程组Ax(0有非零解，用反证法证明。设R（A）=n，则在A 中必有一个n阶非零子式，从而所对应的n个方程只有零解，这与已知矛盾。 因此R（A）≠n，即R（A）n。 充分性 已知R（A）=rn，则A的行最简形矩阵只含r个非零行，其余n-r行都为零，这n-r个行所对应的变量是自由变量，可以任意取值，所以，可知方程组有非零解。 例7 求解线性方程组 解：系数矩阵 将A施以初等行变换 可知R（E）=3，方程组Ex=0只有零解。 又知方程组Ax(0与Ex(0是同解的，所以Ax(0只有零解。 例8 求解齐次线性方程组 解：系数矩阵 将A施以初等行变换 B为最简形矩阵，R（B）=2〈3，由定理6知，方程组Bx=0有非零解 B所对应的方程组为 这个方程组中有4个未知量，两个方程，故应有4-2=2个自由未知量。 用向量表示为 此解是方程组Bx=0的通解，再由定理5知，它也是方程组Ax=0的通解。 2. 非齐次线性方程组解 对于非齐次线性方程组 如果系数矩阵A是可逆矩阵（或满秩矩阵），其解为 如果系数矩阵A是非满秩矩阵，其解的情况较复杂，可能无解，可能有唯一解，也可能有无穷多解。 定理7 对于非齐次线性方程组有解的充分必要条件是R(A)( R 当R(A)(R(n时，方程组有唯一解 当R(A)(R (n时，方程组有无限多解 当R(A)(R时，方程组无解 证明：必要性 已知方程组Ax(b 有解，用反证法证明。设R(A)(R，则将 化为行最简形矩阵，可得其最后一个非零行所对应的方程为0=1，这与方程组有解相矛盾，因此R(A)(R 充分性 当R(A)(R(n时，方程组没有自由未知量，只有唯一解。 当R(A)(R (n时，将 化为行最简形矩阵可知，方程组有n-r个自由未知量，可令它们分别取则方程组解中含有n-r个任意常数，因而，有无穷多个解。 当R(A)(R时，可得方程组无解。证毕。 求解非齐次线性方程组，只要将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，即可判断其是否有解；若有解，再进一步将化为行最简形矩阵，写出其通解。 例9 求解非齐次线性方程组 解：其增广矩阵为，对其进行初等行变换 B是行阶梯形矩阵，R（B）=3，即R=3。 由于R（A）=R=3=n，可得方程组有唯一解。 再将B化为行最简形矩阵， C为行最简形矩阵，其对应的方程组的解为 方程组Ax(b 与之同解，所以Ax(b 有唯一解x=1，y=2，z=-3。 例10 求解非齐次线性方程组 解：其增广矩阵为，对其进行初等行变换 可见R（A）=R（B）=2〈3，由定理7可得方程组有无穷多解。 再将B化为行最简形矩阵 C为行最简形矩阵，其对应的方程组为 这个方程组中有3个未知量，两个方程，则必有1个自由未知量。 设z=c（c为任意常数） 所以原方程组有无穷多个解，其通解为x=2-c，y=2+2c，z=c。 用向量表示为 例11 求解方程组 解：其增广矩阵为， 对其进行初等行变换 观察B的第2，3行，即可看出R（A）=3，R（B）= R=4 R（A）〈R 所以原方程组无解。 例12 确定λ的值，使下列线性方程组 （1）有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解。 解：其增广矩阵为，对其进行初等行变换 由此可得，如果λ≠2和λ≠-3，R（A）=R=3，方程组有唯一解； 如果λ=2，则，R（A）=R=2〈3，方程组有无穷多解； 如果λ=-3，则，R（A）=2〈R=3，方程组有无解。