线性代数练习二线性方程组.doc

练习二 线性方程组 一、选择题： （1）设n阶方阵A的秩rn，则在A的n个行向量中（ ） （A）必有r个行向量线性无关；（B）任意r个行向量均可构成极大无关组； （C）任意r个行向量均线性无关；（D）任一个行向量均可由其他r个行向量线性表示 （2）若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则（ ） （A）α必可由β，γ，δ线性表示；（B）β必不可由α，γ，δ线性表示； （C）δ必可由α，β，γ线性表示；（D）δ必不可由α，β，γ线性表示； （3）设有向量组α1=（1，-1，2，4）,α2=（0，3，1，2）α3=（3，0，7，14）, α4=（1，-2，2，0）,α5=（2，1，5，10） 则该向量组的极大线性无关组是（ ） （A）α1，α2，α3（B）α1，α2，α4（C）α1，α2，α5（D）α1，α2，α4，α5 （4）设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是：（ ） （A）A的列向量线性无关；（B）A的列向量线性相关； （C）A的行向量线性无关；（D）A的行向量线性相关。 （5）设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩为r，则AX=0有非零解的充分必要条件是：（ ） (A）r(n （B）r≥n （C）rn （）n （6）设A是m×n矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=B所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是：（ ） （A）若AX=0仅有零解，则AX=B有唯一解； （B）若AX=0有非零解，则AX=B有无穷多解； （C）若AX=B有无穷多个解，则AX=0仅有零解； （D）若AX=B有无穷多个解，则AX=0有非零解。 （7）非齐次线性方程组AX=B中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ ） （A）r=m时，方程组AX=B有解；（B）r=n时，方程组AX=B有唯一解； （C）m=n时，方程组AX=B有唯一解；（D）rn时，方程组AX=B有无穷多解。 （8）设向量组（Ⅰ）：α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）：β1，β2，…，βS线性表示，则（ ） （A）当rS时，向量组（Ⅱ）必线性相关；（B）当rS时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （C）当rS时，向量组（Ⅰ）必线性相关；（D）当rS时，向量组（Ⅰ）必线性相关； （9）设α1，α2，…，αS均为n维向量，下列结论不正确的是：（ ） （A）若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，kS,都有k1α1+k2α2+…kSαS≠0，则α1，α2，…，αS线性无关； （B）α1，α2，…，αS线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，kS,有 k1α1+k2α2+…kSαS=0； （C）α1，α2，…，αS线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为S； （D）α1，α2，…，αS线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。 （10）α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解向量，且 r（A）=3，α1=（1，2，3，4)T，α2+α3=（0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组AX=B的通解X=（ ） （A）(1，2，3，4)T+c(1，1，1，1)T（B）(1，2，3，4)T+c(0，1，2，3)T （C）(1，2，3，4)T +c(2，3，4，5)T（D）（1，2，3，4)T+c(3，4，5，6)T （11）设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有（ ） （A）α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关；（B）α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关； （C）α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关；（D）α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关。 （12）设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ） （A）α1+α2，α2+α3，α3-α1（B）α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3 （C）α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1（D）α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3 二、已知齐次线性方程组 其中。试讨论和满足何种关系时， （1）方程组仅有零解； （2）方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。 三、设有向量组（Ⅰ）：α1=（1，0，2）T，α2=（1，1，3）T，α3=（1，-1，a+2）T和向量组（Ⅱ）：β1=（1，2，a-3）T，β2=（2，1，a+6）T，β3=（2，1，a+4）T，试问：当a为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价？当a为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？ 四、讨论λ，a，b取什么值时下列方程组有解，并求解： 五、设四元