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第 8 章 自 旋 量子力学教程(第二版) 量子力学教程 量子力学教程(第二版) 8.1 电子自旋态与自旋算符 量子力学教程 量子力学教程 G.E.Uhlenbeck与 S.A.Goudsmit 提出了电子自旋的假设。 8.1 电子自旋态与自旋算符 8.1.1 电子自旋态的描述 电子除具有空间坐标的三个自由度，还具有一个内禀自由度—自旋 sz ，所以含自旋的波函数可以写为 考虑到自旋 sz 只能取±?/2 两个离散值，因此可以使用二分量波函数,即 （1） 称为旋量波函数. 其物理意义如下： 是电子自旋向下 ， 位置在r 处的概率密度. 而 表示电子自旋向上 的概率， 位置在r 处的概率密度， 是电子自旋向上 ， 表示电子自旋向下 的概率. 归一化条件表示为 （2） 其中 是描述自旋态的波函数，一般形式为 （4） 设波函数可以分离变量，即 （3） 式中|a|2与|b|2分别代表电子 sz=±?/2 的概率， 归一化条件表示为 （5） 特例：sz=±?/2 的本征态 常简记为 a 和β，即 （6） （7） a 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基.一般自旋态可以展开为 波函数表示为 （8） 8.1.2 电子自旋算符，Pauli矩阵 （9） 假设：自旋算符s有三个分量，并满足对易关系： 引入Pauli 算符 （10） 则式(9)可以表示为 (11a) (11b) (11c) 或 （12） （单位算符） 并且 （13） 可以证明 的三个分量反对易 （14） 式（11）和（14）联立得 （15） 式（15）与（13）归纳为 （16） 上式与 概括了Pauli 算符的全部代数性质. 下面采用 对角化的表象，把Pauli 算符表成矩阵形式. (17) 本征值只能取±1，因此矩阵表示为 令 矩阵为 (18) (19) 利用 得 所以a=d=0 ，再根据厄米性 要求，可得 ，因而 而 所以|b|2 =1.令 ,则