常微分方程稳定性理论讲义 刘会民 序 言 稳定性概念的出现，已有悠久的 .doc

常微分方程稳定性理论讲义 刘会民 序 言 稳定性概念的出现,已有悠久的历史了.但是,稳定性的精确定义和一般方法是在1892年由俄国伟大数学家李雅普诺夫研究运动的稳定性发展起来的.从而奠定了稳定性理论的基础.但是人们对李雅普诺夫理论的了解、欣赏继承和发展,还是近三十年的事.1976年美国布朗大学著名数学家Lasalle教授在动力系统稳定性序言中写到“在某种程度上可以说,李雅普诺夫的直接方法在西方重新发现是五十年代中期的事,至少那时在非线性控制系统的设计中已广泛地承认了它的重要性”. 他在60年代还说过“稳定性理论在吸引着全世界数学家的注意,而且李雅普诺夫直接法得到了工程师们的广泛赞赏”,“稳定性理论在美国正风速变成训练控制论方面的工程师们的一个标准部分.” 现在稳定性理论的方法和结果已经推广到泛函微分方程,随机微分方程,偏微分方程以及动力系统中去.同时在自动控制系统,卫星姿态动力学,大电力系统以及生态数学等新技术新领域中均有重要的应用. 本讲义是为我系高年级学生希望深入地了解常微分方程稳定性理论的选修生而编写的.全书共分四部分.第一部分介绍一些预备知识.第二部分介绍稳定性、吸引性的概念,以及它们之间的蕴涵或等价关系,李雅普诺夫稳定性基本定理.第三部分介绍全局稳定性.第四部分介绍李雅普诺夫稳定性的进一步推广. 1预备知识 作为各章的基础,我们先介绍一些符号和关于微分方程解的一些基本定理. §1 向量方程 向量、矩阵范数 向量方程 对维方程 (1.1) 我们定义 ,, 且 ,， 则方程（1.1）可表示为 (1.2) 向量的范数 设是维欧式空间,是中的向量，. 若,,, 则向量与的和或差,向量与数的乘积定义如下:,. 定义1 在空间上规定一个映射,它使任何向量都对应一个非负实数,记作,如果满足下列条件: 非负: 当时 ,当时 . 齐次: ,其中. 三角不等式: ,. 这时,我们就称它是中定义了一个向量范数. 三个常用范数: 设, 则有 〈Ⅰ〉; 〈Ⅱ〉; 〈Ⅲ〉． 不难验证,上述三种常用范数满足定义条件. 在上定义的任何向量范数具有下列性质: 定理1. 对任意,下列不等式成立: . 证明: 根据定义1的条件3, , 所以. 另一方面还有, 所以必有. 定理2. 定义在上的向量范数连续是变量分量的一致连续函数. 证明:设为任意向量，为的一个基底，且, 再假设, 显然为定常数, 则当时,由三角不等式 得 . 对任意给定的正数,当取时,则必有. 证毕. 有了范数的概念,我们就可以讨论向量序列的收敛性了. 定义2 设给定中的向量序列,其中, 若对任意,都有,则向量称为向量序列的极限,或者说向量序列依坐标收敛于向量,记作. 定理3. 向量序列依坐标收敛于的充分必要条件是. 如果一个向量序列与向量满足就说向量序列依范数收敛于,于是便得: 向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的. 现在考虑自变量为实数,在中取值的向量函数,定义在点连续为,即. 类似地定义向量函数的微商与定积分,其实只要把一元函数的符号理解为向量函数的符号,把绝对值理解为范数就可以了,那么有下列结论: 1. 连续当且仅当各分量都连续. 2. 的微商是向量函数,记作或,有. 3. 在区间上的积分是向量函数, 即 . 4. . 下面来考虑自变量为中的向量,取值也在中的向量函数, 即 ,称在连续,即. 显然有,连续,当且仅当它的每个分量作为的函数都连续. 定义3. 如果存在一常数,使得当时,有,则我们称在中某区域上是李氏的.其中称为在上的李氏常数. 命题: 若向量函数在某凸集上满足. 是某常数，则在上是李氏的. 证明: 事实上,对的每个分量有 . 因是凸的,所以当时,在内,于是由上述不等式得 ,即, 故.为李氏常数. 矩阵的范数 记是一矩阵，定义,不难验证如此定义的满足： (1) ；当且仅当时等号成立; (2) ；其中为一常数; (3) . 记是定义在上的函数,称为定义在上的矩阵函数. 对矩阵序列,称收敛于矩阵,若. 对矩阵函数,称在点连续,若. 同样可定义矩阵函数序列收敛和一致收敛的定义. 习题 证明: 矩阵序列收敛于,当且仅当. 矩阵函数在点连续,当且仅当它的每个元素在点连续. 证明: 对矩阵和维向量有, . 2 李雅普诺夫稳定性基本定理 §2.1 基本概念及例子 稳定性理论研究时间趋于无穷时对微分方程解的性态,它在自然科学、工程技术、环境生态、社会经济等方面有着广泛的应用.本章将给出稳定性的严格定义,并讨论判断稳定或不稳定的一些常用