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高一数学同步辅导教材(第7讲) 一,本讲进度 2.9 函数的应用举例 2.10 实习作业 小结与复 (课本第 90 页至第 107 页) 二,本讲主要内容 1,函数的应用; 2,第二章的复习与测试 三,学习指导 函数反映了两个变量之间的某种依赖关系,在实际生活和生产中有着广泛的应用.我们研究 的各种 应用问题,通常是指有实际背景或具有实际意义的一些问题.由于实际问题具有背景 复杂,因素众多, 思维深广度大,解答途径多样等特性,在用数学知识解决时,需要有一个数 学化的过程,即从非数 学语言中去捕捉解题信息,将实际问题转化为数学问题,然后再用数 学知识和方法去解决.本讲主要是 用数学中的函数知识来解一些应用问题. 现实世界中普 遍存在的所谓最优化问题,诸如成本最低,利润最高,产出最大,效益最好等应 用问题,常 常可以归结为函数的最值问题.通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用相关 的数学知识去解决. 课本提供的三个例题,分别是关于平面几何,增长率(复利)和物理方面 的.通过这些问题的解决, 可以使我们增强应用意识,提高分析问题和解决问题的能力. 四, 典型例题分析 例 1,某商店购进一批单价为 40 元的商品,若按每件 50 元销售,一个月能 卖出 a 个,为获得更大 利润,商品准备提高价格,若每件涨价 1 元,销售量就减少 10 个, 问为了获取最大利润,售价应当定为 多少?试就 a=500 和 a=50 两种情形分别解答. 解题 思路分析 此类问题的基本关系是:每件利润=原售价+提价-进价,实售件所=原售件数-滞销 量. 设提价 x 元/件,则能售出(a-10x)件,月利润总量 y=(10+x)(a-10x)元. 当 a=500 时, 使 y 最大的 x 取值为 20,当 a=50 时,使 y 最大的 x 取值为- 2。 5. 例2, 某种商品, 生产 x 吨需费用 1000+5x+ 1 2 x x, 而卖出 x 吨的价格是每吨 p 元, 其中 p=a+ ,(a,b 10 b 是常数). 如果生产的产品全部卖掉, 当生产量是 150 吨时利润最大, 这时每吨价格为 40 元, a,b 的值. 求 解题思路分析: 基本关系式:总利润=总收入-生产费用. 设利润为 y 元, 则可得 y=px-(1000+5x+ 以 p=a+ 1 2 x) 10 x 代入,化简得函数 b 1 1 2 y=( )x +(a- 5)x-1000 b 10 其中有两个字母 a,b 的值要确定,需要有两个条件.由题设知:当 x=150 时 p=40;又知当 x=150 时利润 y 取最大值.由此解得 a=45,b=- 30. 例 3,某工厂今年 1 月,2 月,3 月分别生产某产品 1 万件, 1.2 万件, 1.3 万件.为了估测以后每个 月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模 拟该产品的月产量 y 与月份数 x 的关系.模拟 函数可选用函数 y=abx+c(其中 a,b,c 为 常数)或二次函数.已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用 以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由. 解题思路分析: 先 确定两种函数的解析式,再比较 x=4 时哪个函数值更接近 高一数学同步辅导教材(第7讲) 1. 37. 设 y1=f(x)=abx+c,则由 f( 1)=1,f( 2)= 1.2,f( 3)= 1.3,解得 a,b,c,f(x)=- 0. 8× 0.5x+ 1. 4. 设 y2=g(x)=px2+qx+r,(p≠ 0). 则由 g( 1)=1,g( 2)= 1.2,g( 3)= 1.3 解得 p,q,r,g(x)=- 0.05x2+ 0.35x+ 0.7 计算 f( 4)= 1.35,g( 4)= 1.3,故用 y 1 作为模拟函数较好. 巩固练 (一)选择题 1,某商品零售价 1999 年比 1998 年上涨 25\\%,欲控制 2000 年比 1998 年 只上涨 10\\%,则 2000 年应 比 1999 年降价( ) A.15\\% B.12\\% C.10\\% D.50\\% 2, 在国内投寄处埠平信,每封不超过 20 克重需付邮资 8 角,超过 20 克重而不 超过 40 克 重付邮资 16 角,超