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推动创新与发现：21 世纪的数学科学 美国国家科学院的研究——2025 年的数学科学（MathSci 2025 ）于2010 年 启动，由美国国家科学基金会资助，是一项对美国数学科学当前状态的前瞻性评 估。MathSci 2025 项目的最终报告将在2012 年晚些时候发布。 《推动创新和发现：21 世纪的数学科学》是在最终报告发布之前的一份独 立报告。它是基于委员会对数学科学最新进展或数学科学研究推动的进展的确 认，根据委员会对该学科的活力的评估得出。 在选择本报告的主题时，委员会旨在覆盖具有影响的一系列数学科学子领域 和范围，选题中的信息可访问，并且可通过几页说明发展。 在2010 年年底和2011 年间，对相应的主题进行了确认、专家咨询、起草编 写和修订等环节，并编辑了附带图像。 数学科学是日常生活的一部分。现代通信、交通运输、科学、工程、技术、 医药、制造、安全和金融都依赖于数学学科。数学科学包括数学、统计学、运筹 学和理论计算机科学。此外，还有许多工作在其他科学和工程理论领域的数学工 作者，他们也促进了数学科学的发展。数学科学各领域研究之间具有统一性，研 究过程中可能考虑或不考虑应用，并且不考虑数学科学的发展可能促进的一系列 应用。要在科技发达的社会中发挥良好作用，每一个受过教育的人都应该熟悉数 学科学的多个方面。 虽然数学科学是普遍的，但它们却往往不能得到明确的认识。数学科学推动 了现代生活，通过分析数据或使用计算机建模和仿真来设计和分析处于“如果- 那么”情况的系统或探索。随着科学与工程大多数领域、企业、政府、国家安全 等方面真正海量数据集的出现，提高了对数学科学新工具的需要。因为数学科学 具有独立的科学背景，它们可以方便地从一门学科转换到另一学科。 数学科学提供了一门包括数字、符号、图表和图表的语言，可以表达日常生 活中，以及科学、工程、医学、商业、艺术等领域的思想。数学符号比汉语、英 语或阿拉伯语更加普遍，使得具有完全不同语言和文字的团体之间实现沟通。 《推动创新和发现：21 世纪的数学科学》报告选择了以下主题介绍数学科 学各领域的最新进展或数学科学研究推动的进展。 1. 压缩传感 在过去的20 年间，两场独立的变革使得数字媒体产生于前互联网时代。两 场变革都深深植根于数学科学。现在，其中一场变革已经成熟，每当你去观看计 算机动画电影时便会从中受益。另一场变革才刚刚开始，但已经重新定义了生物 成像、通信、遥感和其他科学领域的可行性的限制。 第一场变革可称为“小波变革”。小波是一种数学方法，用于分离图像或任 何种类的信号（声，地震，红外线等）中最相关的信息。 2004 年，一些简单的问题开启了小波变革的中心前提：既然我们要通过压 缩算法放弃90 ％或99 ％的信息，那么为什么我们甚至会烦心于获得1000 万像素 的信息？为什么我们不能从仅获得 1％的最相关信息开始呢？这一点促使我们 开始了被称为压缩传感的第二次变革。 当然，数学科学中充满神奇。就小波而言，即为眼见为实。压缩传感能够通 过核磁共振成像使成像时间从2 分钟减小到40 秒。其他研究人员已将压缩传感 用于无线传感器网络，在不使用心电图仪的情况下监测病人的心跳。 压缩传感已经改变了科学家和工程师考虑从模数转换到数字光学和地震信 号的采集方式。例如，美国的情报部门一直在努力解决窃听敌人从一个频率跳到 另一个频率的传输问题。当频率范围太大时，没有足够快的模拟-数字转换器能 够扫描合理时间内的整个范围。然而，压缩传感的思想表明，这样的信号可以足 够快地获取，以允许这样的扫描，从而导致新的模拟-数字转换器架构。 具有讽刺意味的是，不论现在还是过去你可能不会发现压缩传感应用的地方 正是数码摄影。原因是，光学传感器是这么便宜，它们可以数以百万计地集成于 计算机芯片上。虽然这可能浪费传感器，但其成本基本上为零。不过，只要你获 取其他波长（如无线电或红外）或其他形式（如核磁共振成像扫描）的数据，压 缩传感所节省的成本和时间将显示出更大的重要性。因此，压缩传感有可能继续 作为数学家和各类科学家和工程师之间对话的肥沃土壤。 2. 特征向量/从数学科学到首次公开发行 1997 年，当谢尔盖·布林（Sergey Brin ）和拉里·佩奇还是斯坦福大学的研 究生时，他们撰写了一篇简短的论文，论文是关于他们称为谷歌的实验性搜索引 擎。布