很好的拉普拉斯变换讲解40.pdf

第7 章 拉普拉斯变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在 自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简 称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用． 7.1 拉氏变换的基本概念 在代数中，直接计算 3 N 6.28 3 5781 202 (1.164) 5 9.8 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 1 3 lg N lg 6.28  (lg 5781lg 9.8 2 lg 20)  lg 1.164 3 5 ， N 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数 ． 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法． 7.1.1 拉氏变换的基本概念  f (t) t 0 0 f (t) ept dt P 定义 设函数 当 时有定义，若广义积分 在 的某一区域内 P F (P) 收敛，则此积分就确定了一个参量为 的函数，记作 ，即  F (P) 0 f (t) ept dt （7-1） 称（7-1）式为函数f (t) 的拉氏变换式，用记号L[f (t)] F (P) 表示．函数F (P) 称为f (t) 的拉氏变换(Laplace) (或称为f (t) 的象函数)．函数f (t) 称为F (P) 的拉氏逆变换 （或称 为F (P) 象原函数），记作 L1[F (P)] f (t) ，即f (t) L1[F (P)] ． 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： (1) 在定义中，只要求f (t) 在t 0 时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后 总假定在t 0 时，f (t) 0 ． P （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数 是在复数范围内取值．为了方便起见， P 本章我们把 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用． （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一 般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的． f (t) at t 0，a 例7-1 求一次函数 （ 为常数）的拉氏变换．  a  at a  L[at ] ate pt dt  td (ept ) [ ept ]