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        应用偏微分方程与科学计算  讲义（十一）  Lecture Notes on   Applied Partial Differential Equations and  Scientific Computing  No. 11    马 石 庄            2010．10．14．北京      1      第11 讲 边值问题与积分方程    教学目的：把微分方程转换为积分方程，变成求解微分方程定解问题 的重要技巧，是研究积分方程的最强大动力。“积分方程在数学分析 上的意义在于，能够从统一的观点来考虑数学分析中形形色色不同的 问题”。 作为入门，阐述求解线性积分方程的经典理论。                    主要内容：  §1 积分方程理论缘起  3  1.1 积分方程的分类  3  1.2 Volterra 逐次逼近  10  1.3 Fredholm 行列式  14  §2 Fredholm定理  19  2.1 可分核积分方程  19  2.2 可分核积分方程的Fredholm 定理  21  2.3 连续核积分方程的推广  24  §3 Hermit核积分方程  30  3.1 Hermit 核积分方程特征值  31  3.2 Hilbert‐Schmidt 定理  33  3.3 非齐次积分方程  38  习题11  41    2      积分方程最近代数学的重要分枝，与微分方程，泛函分析、计算 数学、位势理论和随机分析有紧密的联系，又是数学联系力学、数学 物理和工程等应用学科的重要的工具。积分方程的一般理论是在20 世纪逐步发展和成熟起来的．不积分方程是未知函数出现在积分号内 的方程，解方程的问题就是要确定这个函数．起初解积分方程被看作 反积分，积分方程这个术语属于Du Bois‐Reymond。  数学物理中有些问题直接导致积分方程，而另一些问题则导致微 分方程。把微分方程转换为积分方程，变成求解常与偏微分方程的初 值与边值问题的重要技巧，并且是研究积分方程的最强大动力。“积 分方程在数学分析上的意义在于，能够从统一的观点来考虑数学分析 中形形色色不同的问题”。求解积分方程创造的抽象研究方法，与变 分法的研究一起，让探求一般性和统一性为特征的泛函分析呼之欲出。  §1 积分方程理论缘起  个别的包含积分方程的问题，远在这门学科取得明显地位和研究 方法以前就已经出现了，积分方程的理论分析在 19世纪末和 20 世 纪初成为现代数学的先驱。  1.1 积分方程的分类  Abel （1832）是第一个自觉并直接解出积分方程的，考虑如下力 学问题：一质点从出发沿光滑曲线滑到点。曲线位于一铅直平面 3    上，，在