分数阶的Fourier变换的定义.ppt

分数阶FROURIER变换 本小组人员 李耀民 张陆勇 张风山 朱雪田 张咏梅 王春光 邓天乐 孙华明 分数阶FROURIER变换 目标： FRFT 的本质特征之一：旋转不变性 FRFT 的本质特征之二：FRFT的内涵 FRFT特别适用于LFM信号的分析与处理 FFT为FRFT的一个特例 相关术语 FRFT:Fractional Fourier Transform 广义Fourier变换: Fractional Fourier Transform STFT:Short-Time Fourier Transform MSTFT:Modified Short-Time Fourier Transform WD: Wigner Distribution LFM: 线调频信号 主要内容 1 问题的提出 2 FRFT的基本概念 3 FRFT的基本性质 4 一些常见信号的FRFT 5 FRFT的计算方法 6 FRFT的二维表示 7 FRFT的应用 8 FRFT域内的算子 9 我的想法 一.问题的提出 信号的时频滤波 时域滤波 频域滤波 时频域滤波 一.问题的提出 有用信号为 高斯信号e-?(t-4)2 干扰为 线性调频信号e-j?t2. 一.问题的提出 信号:高斯包络的线调频信号(LFM) 干扰为加性实值白噪声. 一.问题的提出 LFM信号可广泛应用于各种信息系统 通信 雷达 声纳 地质勘探 二.FRFT的基本概念 传统Fourier变换的定义及性质 两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对 G(w)= ?g(t) e-jwtdt /√2? g(t)= ?G(w) ejwtdw /√2? G(w)=F(g(t)) F2(g(t))=F[F(g(t)] =g(-t) F3(g(t))=G(-w) F4(g(t))=F[F3(g(t)] =g(t) 二.FRFT的基本概念 分数阶的Fourier变换的定义 Fourier变换可以看成时域与频域的关系，在时频平面上为 旋转?/2,我们定义一个实数?=p?/2,其中p为任意实数，那么是 否存在旋转角度为?的Fourier变换？ 旋转角度?不为?/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢? 如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换. 它应具有的基本性质: 零旋转 R0=I 与Fourier变换等价 R ?/2=F 旋转相加性 R?R?=R ?+? 恒等变换 R2 ?=I 二.FRFT的基本概念 核概念及性质 设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换: 其中核函数为: ?=p?/2 二.FRFT的基本概念 核函数具有以下性质: 1.互换性 2. 3. 4.积分相加性（完备性） 5.正交性 二.FRFT的基本概念 广义Fourier变换的两个特例 1.以传统的Fourier变换为例,我们可 以看出,传统的Fourier变换为广义 Fourier变换的一个特例, 在广义 Fourier变换中,令p=1即为传统的 Fourier变换. 此时广义Fourier变换的核函数即为传统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数 2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数x(t),p=0? ?=0?核函数为?(t-u) 3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例 4.核函数为p的连续函数 二.FRFT的基本概念 二.FRFT的基本概念 方波的几种分数阶Fourier变换. 实线: 实部 虚线: 虚部 二.FRFT的基本概念 图(a): 三角函数rect(x/2)* rect(x/2)的幅值（实线） 和p=0.5的FRFT的幅值 （虚线） 图(b):图(a)的相位，三角函数 （实线），FRFT（虚线） 图(c):有限长正旋函数 e j2?x rect(x/20)的实部 图(d):图(c):有限长正旋函数的 FRFT(p=0.5)的实部 图(e):线性调频函数