函数导数中双变量问题的四种转化化归思想.doc

处理函数双变量问题的六种解题思想 吴享平（福建省厦门第一中学）361000 　　在解决函数综合题时，我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题，由于两个变量都在变动，因此不知把那个变量当成自变量进行函数研究，从而无法展开思路，造成无从下手的之感，正因为如此，这样的问题往往穿插在试卷压轴题的某些步骤之中，是学生感到困惑的难点问题之一，本文笔者给出处理这类问题的六种解题思想，希望能给同学们以帮助和启发。 一、改变“主变量”思想 例１.已知恒成立，求实数的取值范围. 　　分析：从题面上看，本题的函数式是以x为主变量，但由于该题中的“恒”字是相对于变量而言的，所以该题应把当成主变量，而把变量x看成系数，我们称这种思想方法为改变“主变量”思想。 解：恒成立，即关于m为自变量的一次函数在时的函数值恒为非负值得。 对于题目所涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“假”双变元问题，这种“假”双变元问题，往往会利用我们习以常的字母为变量的惯性“误区”来设计，其实无论怎样设计，只要我们抓住“任意变动的量”为主变量，“所要求范围的量”为常数，便可找到问题所隐含的自变量，而使问题快速获解。 二、指定“主变量”思想 例２.已知试比较与的大小，并给出证明. 分析：本题涉及到两个变量m,n，这里不妨把m当成常数，指定n为主变量，解答如下 解：构造函数，， 由在上恒成立，在上递增，，于是，当时，即。 因此，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为：指定“主变量”思想。 三、化归为值域或最值思想 例３.已知函数，对，求实数a的取值范围。 分析：该题虽然在区间[－１，１]上有两个变量，但由于总有小于在区间上的最大值与最小值的差，因此该问题便可化归为求函数在区间上的最大值与最小值问题。 解：由，，当时，，即在上递减；当时， ，即在上递增，； ，又由＝，构造函数，，在上递增，又，当时即。，因此，要题设中的不等式恒成立，只需成立便可，于是构造，，由 ，在上递增，又，又 ，因此，所求实数a的取值范围为.　 四、化归为函数单调性思想 例4.已知，试比较的大小，并说明理由。 分析：要比较的大小，由可知，只要比较与的大小比较与的大小即可，因此，只要研究函数单调性便可，解答如下。 解：构造函数，在上恒成立，在上递减，由得. 例5.已知函数(),若对任意，，求的取值范围 　解：由，即在上单调递减，不妨让，， （*），因此，构造函数，由（*）在上递减，在上恒成立在上恒成立，于是再次构造函数，由.当时； 当时，，，因此满足题意要求的实数a的取值范围为. 　　以上两例的解法均是通过等价转化与变形，使需要解决的问题等价化归为函数单调性问题来加以解决，我们将这一解题思想称之为：化归成函数单调性思想 五、整体代换，“变量归－”思想 　例６.已知函数，若是两个不相等的正数，且，试比较与2的大小，并说明理由。 　　解：①，设，则②，构造函数＝，，由，当时；当时 .，又因为，若时，则代入①式得，这与是两个不相等的正数相矛盾，＝，代入②式得。 例７.已知函数有两个零点，且成等差数列，试探究值的符号。 解：依题意得得，，不妨设，由（１）－（２）得①，又 ，将①式代入得 ，令，则②，构造函数，，在上恒成立。 在递增，，，又因，， ，所以恒为正值。 例８.已知，且f(x)与g(x)有两个相异的交点　，线段AB的中点为M，过点M作与x轴垂直的直线，直线与函数和函数的图象分别相交于点P、Q两点，问是否存在这样的两交点A,B，使得函数在P点处的切线与函数在Q点处的切线平行？若存在，求出满足条件的A,B两点的坐标；若不存在，说明理由。 解：若满足题意的两点存在，则，不妨让，依题意得，由（１）－（２）得，又依题意知P,Q两点的横坐标均为，；又，，若＝，则，根据（*）与（**）得①。令，则构造，，，在上递增，因此，当时，等式①不成立，即满足题意条件的A,B点不存在。 　　以上例６、例７、例８的解，都是通过等价转化，将关于的双变量问题等价转化为以所表示的运算式为整体的单变量问题，通过整体代换转化为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，由此我们将这一解题思想称之为“变量归一”思想。 六、借助“参照物”,建构“桥梁”思想 例９.已知函数，对于任意的当时，比较与的大小，并说明理由。 分析：联想到教材中，指数函数与对数函数的递增“速度”比较，我们可作出函数简图（如右），通过图形的直观判断可得 ，又 ，所以容易想到：借助为“桥染” 通过“传递关系”来探索问题的解，解答如下 解：构造函数；， 由，在递增，又，时，①又由在上恒成立，在递减，又，时，