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一 场与矢量分析 1 场的概念 2 数量场中的方向导数及梯度 3 矢量场中的通量及散度 4 矢量场中的环量及旋度 5 哈密尔顿算子 6 几种重要的矢量场 问题：某物理量在空间的分布与变化规律 定义：如果在全部空间或部分空间的每一个点， 都有一个确定的物理量与之对应，则称 在此空间确定了该物理量的场。 2 数量场中的方向导数及梯度 方向导数：函数沿某一确定方向的变化率 方向导数在直角坐标系下的计算式 问题：过一点可有无穷多个方向，函数T沿哪一方向变化率最大？最大变化率为何？ 梯度在直角坐标系下的计算式： 由于 1）梯度grad u是标量场不均匀性的量度； 2）grad u 的方向与等值面的法线重合，指向u增大的一方，大小为 ，是u变化最快的方向； 3）梯度grad u 矢量在任意l方向上的投影等于该方向的方向导数； 3 矢量场中的通量及散度 通量的概念 散度：矢量场中的一个数量，定义它为通量对体积的变化率。 散度在直角坐标系下的计算式 4 矢量场中的环量及旋度 定义矢量场u(M)中，沿某一封闭有向曲线 L的曲线积分 问题：环量值的大小即取决于矢量场u大小又取决于曲线L的值，那么我们如何才能准确的度量出环量的强度呢？ 问题：过一点可有无穷多个方向，环量面密度值沿那一方向变化率最大？最大变化率为何？ 旋度直角坐标系下的计算式 5 哈密尔顿算子 哈密尔顿定义了如下微分算子 梯度、散度、旋度的算子表示法 6 几种重要的矢量场 有势场：设有矢量场u满足u = grad T 则称此矢量场u为有势场，并称－T 为这个场的势函数。 管形场：若在矢量场u 中有divu = 0则称矢量场u为管形场。 调和场：若在矢量场u中恒有divu = 0且rotu＝0，则称此矢量场为调和场。 阅读材料一 《矢量分析与场论》P17－P83 习题一 证明 求 将Gauss 公式，Stokes公式用矢量法写出 用算子法证明 二 笛卡儿张量基础 1 张量的定义 2 Einstein求和约定 3 坐标变换 4 Kronecher记号 5 置换张量 6 张量恒等式 7 梯、散、旋度的下标表示法 8 广义Gauss公式 1 张量的定义 问题：微元六面体上的表面力及变形率的描述。 2 Einstein求和约定 当同一项中若有重复角标出现时，就表示对该角标从1到3自动求和。这个重复角标被称为哑标。 3 坐标变换 若记（xi , xj）为使旧坐标系xi轴与新坐标轴xj 重合所必须转过的角度则 4 Kronecher记号 使用Einstein求和约定后（2）式可以表示为 由定义可以得到 5 置换张量 定义： 6 张量恒等式 ?－? 恒等式 7 梯、散、旋度的下标表示法 8 广义Gauss公式 Gauss公式 阅读材料二 1. 窦国仁 《紊流力学》 上册 P283－P291 2. 周光炯 《流体力学》 下册 P377－P387 3. 吴望一 《流体力学》 上册 P1－P80 习题二 1. 证明：由新坐标系到老坐标系的变换为 2. 求 3. 求 4. 证明 （1） （2） 三 笛卡儿张量的性质及基本运算 1 矢量及二阶笛卡儿张量的解析定义 2 共轭张量、对称与反对称张量 3 张量的和与差 4 张量的外积与内积 5 张量的梯度与散度 6 二阶笛卡儿张量的主轴、主值、不变量 7 二阶笛卡儿张量的两个基本定理 1 矢量及二阶笛卡儿张量的解析定义 矢量（一阶笛卡儿张量）的解析定义 任何一个由31个分量 A i确定的对象，若其分量在坐标变换下按 二阶笛卡儿张量的定义 任何一个由32个分量A ij确定的对象，若其分量在坐标变换下按 2 共轭张量、对称与反对称张量 共轭张量 若A ij为一个二阶张量，则称A ji为A ij的共轭张量 对称张量 若Sij为一个二阶张量且 3 张量的和与差 4 张量的外积与内积 张量的外积 张量的内积 5 张量的梯度与散度 张量的梯度 张量的散度 6 二阶张量的主轴、主值、不变量 设：Pij为二阶张量，对空间任意非零矢量aj做张量和矢量的右向内积 Pij aj ＝bi 则得空间中另一矢量 bi ， 若 矢量 bi与矢量 aj共线，即 bi＝? aj ( ?为标量 ) 则称 矢量aj的方向为张量Pij的主轴方向， ?称为Pij的主值。 不变量：不随坐标系转换而改变其数值的量。 7 二阶张量的两个基本定理 显然 阅读材料三 1. 窦国仁 《紊流力学》