数列之通项公式求法.doc

考试状元——数列之通项公式求法复习专题攻略 安博京翰教师 张龙 复习攻略 数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等。因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口，关键点。故将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助。下面我就谈谈求数列通项公式的几种方法： 一、观察法 即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。过程：观察→概括、推广→猜出一般性结论。 例1、数列的前四项为：11、102、1003、10004、……，则_____。 分析：即 二、公式法（利用间的关系求通项） ，即已知数列前n项和，求通项。 例2、数列的前项和为.（1）; （2）.分别求. 解：（1）应为分段函数. 当时， 而，故 . （2） 两式对应相减得.即，从而. 又 . 故数列是首项为7，公比为2的等比数列， 故，即. 说明：本题中利用的定义知解题；（2）中出现递推数列，转化为为等比数列，也可以用关系式对应相减，转化为为公比是2的等比数列，再利用错项相加求. 另例、已知数列前n项和满足：，求此数列的通项公式。 解： 当时， 当时， 所以： 递推公式 1. 作商法：已知求，用 比如：数列中，对所有的都有，则______ 2. 累加法: 已知, 则 比如：已知数列中, a1=1, 对都有, 求 3. 累乘法: 已知则 比如：已知数列中, a1=2, 前n项和, 若, 求 构造数列法 （1）形如, 的递推关系可用待定系法转化为求公比为k的等比数列后再求 [1] 型。 基本思路： （1）时，是等差数列， （2）时，设 ∴ 比较系数： ∴ ∴ 是等比数列，公比为，首项为 ∴ ∴ [2] 型。 （1）时，，若可求和，则可用累加消项的方法。 比如：已知满足，求的通项公式。 解： ∵ ∴ …… 对这（）个式子求和得： ∴ （2）时，当则可设 ∴ ∴ 解得：， ∴ 是以为首项，为公比的等比数列 ∴ ∴ 将A、B代入即可 （3）（0，1） 等式两边同时除以得 令 则 ∴ 可归为型 [例3] 型。 （1）若是常数时，可归为等比数列。 （2）若可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 （2）形如的递推数列可以用倒数法求通项。 比如①已知，求 ②已知数列满足=1，，求 注意: (1) 用法 的条件 , 当时, 需检验 (2) 已知条件是与的混合关系时,常用（）化为只含或的单一关系再求解 如: ①数列满足, , 求 ②在数列中, , 当时, 其前n 项和满足 (ⅰ) 求的表达式； (ⅱ)设, 求数列的前n项和 五、求解方程法 若数列满足方程时，可通过解方程的思想方法求得通项。 例如、已知，数列满足，求数列的通项公式。 解： 期末备考特刊 京翰1对1