递推数列通项公式考题例析.doc

递推数列通项公式考题例析 河北省 赵春祥 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列把问题解决．这类问题多年来一直是高考久考不衰的热点题型，尤其是2006年全国高考试卷十分明显．直接求此类问题的通项公式，许多学生常常感到困惑不解，有时显得束手无策．下面分类说明． 一、－= d型(等差数列定义) 例1 (2006年全国高考陕西卷理科试题)已知正项数列，其前n项和满足=＋＋6且、、成等比数列，求数列的通项． 解: ∵=＋＋6， ① ∴10=+5＋6，解之得=2或=3． 又=＋＋6，10Sn－1=+＋6 (n≥2)，② 由①－②得10= (－)＋6(－)，即(＋)(－－5) = 0， ∵＋＞0，∴－= 5 (n≥2)． 当=3时，=13，=73，此时、、不成等比数列，∴≠3； 当=2时，=12，=72，此时有=，∴=2， ∴= 5n－3． 二、=·q型(等比数列定义) 例2 (2006年全国高考江西卷理科试题)已知数列满足：，且=(n≥2，nN*)，求数列的通项公式． 解：⑴将条件变为：1－=(1－)，因此，{1－}为一个等比数列， 其首项为1－=，公比为，从而有1－=， 据此得=(n≥1)． 三、利用与a的关系 例3 (2006年全国高考安徽卷文科试题)在等差数列中，，前项和满足条件=，n =1，2，3，…， 求数列的通项公式． 解：设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，解得，所以． 四、a= pa+q型 例4 (2006年全国高考福建卷理科试题)已知数列满足a= 1，a= 2a＋1，(nN*)．求数列的通项公式． ∵a= 2a＋1，∴a＋1= 2(a＋1)， ∴{a＋1}是以a＋1= 2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a＋1= 2，即a= 2－1．(nN*) 五、a·= a·＋型 例5 (2006年全国高考安徽卷理科试题)数列的前项和为，已知，=－n(n－1)，n = 1，2，3，…．写出与的递推关系式(n≥2)，并求关于的表达式； 解：由=－n(n－1) (n≥2)得：=－n(n－1)，即(= n(n－1)，所以，对成立． 由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立． 求递推数列的通项公式的思维方向是转化与化归，这样处理问题的目的是化陌生为熟悉，当然首选方向是化成等差或等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的．等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上． 第 2 页 共 3 页