级数(同济六版).ppt

目录 上页 下页 返回 结束 解：设级数 T(x)逐项积分 易求得收敛域为(-1,1) . 【例12】求常数项级数 的和 令 目录 上页 下页 返回 结束 §4 函数展开成幂级数 一、函数的幂级数展开式 二、函数展开成Taylor级数 三、初等函数的Taylor展开 目录 上页 下页 返回 结束 问题：① 如何用一个多项式近似代替一个比较 ② 从上一节知在收敛域内 复杂，但是性质很好的函数. 反之给一个函数f(x)能否展开成幂级数？ 目录 上页 下页 返回 结束 一.函数的幂级数展开式——（Taylor级数） 问题: ①f(x)能否表示成幂级数 ②如能,f(x)必须具备什么条件？ ②如能,系数an(an=0,1,2,…)与f(x)有什么关系? 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定理1: 若f(x)在(x0-R, x0+R,)内是幂级数 的和函数,即 则 证： 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义1: 若f(x)在x0点处任意阶可微 , 称幂级数 若f(x)是 的和函数,则 为f(x)在x0点处的Taylor级数 . 特别,当x0 = 0 时, 称为麦克劳林级数, 即 目录 上页 下页 返回 结束 3. Taylor中值定理: 其中 如果f(x)在(x0-R, x0+R,)内具有 n+1阶导数, 则在(x0-R, x0+R,)内 称为Lagrange 余项 Taylor公式 目录 上页 下页 返回 结束 二. 函数展开成Taylor级数 定理2: 如果f(x)在(x0-R, x0+R,)内具有任意阶导数, 则 f(x)在该区间内能够展开成Taylor级数 Taylor公式中 即 注：f(x)幂级数展开式是唯一的 目录 上页 下页 返回 结束 三. 初等函数的Taylor展式 1. 直接法 ① 求函数及其各阶导数在 x = x0 处的值 ; ② 写出对应的幂级数 , 并求出其收敛域 ; ③ 证明在收敛域内 目录 上页 下页 返回 结束 【例12】将下列函数展开成 x 的幂级数 解： 对任何有限数 x , 其余项满足 (? 在0与x 之间) 收敛域为R 收敛域为R 目录 上页 下页 返回 结束 【作业】 一、P277 Ex12-3 2 (1,2) 二、预习第六次课，并试作 P285 Ex12-4 2 (1,3,5)(要求用间接法) 目录 上页 下页 返回 结束 解： 对任何有限数 x , 其余项满足 (? 在0与x 之间) 收敛域为R 第六次课 目录 上页 下页 返回 结束 解： 其中m为任意常数 目录 上页 下页 返回 结束 当x =±1 时, 有如下结果 (证略) ① m 1 时, 收敛区间为(-1,1) ② -1 m 1 时, 收敛区间为(-1,1] ③ m 1 时, 收敛区间为[-1,1] 同时可证 (? 在0与x 之间) 目录 上页 下页 返回 结束 展开式的几种特殊情况 ①当m＝n 时, ②当m＝-1 时, ③当m＝1/2时, ④当m＝-1/2时, 目录 上页 下页 返回 结束 2. 间接法 利用上面几个级数的适当变形,逐项积分, 逐项微分进行展开. (1). 适当变形 目录 上页 下页 返回 结束 (2). 逐项微分，逐项积分 目录 上页 下页 返回 结束 容易求出 R = 1 当x＝1 时, 收敛 当x＝-1 时, 发散 收敛区间为(-1,1]. 目录 上页 下页 返回 结束 常用公式 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 常用结果 目录 上页 下页 返回 结束 【例13】将下列函数展开成 x 的幂级数 在x=0处展开成幂级数 解： 收敛域为 (-3, 3) . 目录 上页 下页 返回 结束 解： 收敛域为 (-3, 3) . 当x＝±3 时, 发散 目录 上页 下页 返回 结束 解： 收敛域为 [-1, 1] . 当x＝±1 时, 收敛 目录 上页 下页 返回