问题5.6 数列中的探索性问题-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品（解析版）.doc

2018届学科网高三数学成功在我 专题五 数列 问题六：数列中的探索性问题 一、考情分析 近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题. 二、经验分享 (1)对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答． (2)探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值．数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法． (3)存在型探索性问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用． ()处理规律探索性问题，应充分利用已知条件，先求出数列的前几项，根据前几项的特点透彻分析，发现规律、猜想结论． 三、题型分析 (一) 条件探索性问题 【例1】已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立． （Ⅰ）求数列、的通项公式； （Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和． 【分析】（Ⅰ）因为对任意的恒成立，所以取，又知为等差数列，为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（Ⅱ））由，得，设，则不等式等价于，问题转化为求的最小值，因，利用知单调递增，求的最小值，再根据求解；（Ⅲ）特殊情况时，成立，当d＞0时，，，由等比中项知，化简得，整理得：，由，所以，根据，故，从而，所以公差d的所有可能取值之和为． 【解析】（Ⅰ）法1：设数列的公差为，数列的公比为． 因为 令分别得，，，又 所以即， 得或，经检验符合题意，不合题意，舍去． 所以． ①当为奇数时，得； ② 当为偶数时，得，即． 综上，，由是非零整数，可知存在满足条件． （Ⅲ）易知d=0，成立． 当d＞0时，， ， ， ， ， ， 又，， ，，所以公差d的所有可能取值之和为．……16分 【点评】第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差的要求，进而得到的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高． 【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三上学期调研】已知数列的前项和为,且,又数列满足． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)当为何值时,数列是等比数列？并求此时数列的前项和的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ). 【解析】（Ⅰ）由， 当时，；当时，， 故数列的通项公式为 (Ⅱ)由有则数列为等比数列， 则首项为满足的情况，故， 则 而是单调递增的，故 (二) 结论探索性问题 【例2】已知数列中，（为非零常数），其前n项和满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，且，求的值； （3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？ 若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)先由得， ，两式相减整理得，， 再相减化为，故是等差数列，；(2)先求出代入整理得，只有且，解得；(3)先排除的情况，再求得时有，再由对任意正数成立可得 ，最后验证得． 【解析】（1）由已知，得，∴， 则有，∴， 即，， 两式相加，得， 即， 故数列是等差数列， 又，∴ （3）由，得， 若，则，不合题意，舍去； 若，则． ∵不等式成立的最大正整数解为， ∴， 即对任意正整数都成立， ∴，解得， 此时，，解得， 故存在实数满足条件，与的取值范围是， 【点评】