3.4基本不等式最值问题.ppt

(湖南师大附中内部资料)高三化学习总复习课件：高三第五次周考试卷分析课0801(课件)(培训课件)班组建设与5S管理培训多媒体计算机系统常用硬件设备教材 (湖南师大附中内部资料)高三化学习总复习课件：高三第五次周考试卷分析课0801(课件)(培训课件)班组建设与5S管理培训多媒体计算机系统常用硬件设备教材 a b 1、正方形ABCD的 　　面积S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的 　　面积和S’ =＿＿ ３、S与S’有什么　　　 　　样的不等关系？ 探究１： SS′即 问：那么它们有相等的情况吗？ (a≠b) A D B C E F G H b a 猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 A B C D E(FGH) a b (a≠b) (a＝b) ＝ 思考：你能给出不等式 的证明吗？ 证明：（作差法） 重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围： a,b∈R 替换后得到： 即： 即： 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 证明：要证 只要证 ① 要证①，只要证 ② 要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法 证明不等式： 特别地，若a0，b0，则 ≥ 通常我们把上式写作： 当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 基本不等式 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 适用范围： a0,b0 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? Rt△ACD∽Rt△DCB， A B C D E a b O 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD ＞ ≥ 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. 几何意义：半径不小于弦长的一半 A D B E O C a b 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a0,b0 填表比较： 注意从不同角度认识基本不等式 （1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么 a+b有最____值______(当且仅当_____时取“=”）. （2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么 ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）. 2. 利用基本不等式求最值问题： 小 大 利用基本不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等。 一．知识要点 a=b a=b 应用基本不等式求最值的条件： a与b为正实数 若等号成立，a与b必须能够相等 一正 二定 三相等 积定和最小 和定积最大 （ a＞0，b＞0） 注意 1、两个不等式的适用范围不同; 2、一般情况下若“=”存在时，要注明等号成立的条件； 3、运用重要不等式时，要把一端化为常数（定值）。 一正 、二定 、三相等 （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ ab=36 ∴当a=b=6时，和a+b最小为12 ∵ ∵ a+b=18 ∴当a=b=9时，积ab最大为81 不等式 是一个基本不等式，它在解决实际问题中有广泛的应用， 是解决最大（小）值问题的有力工具。 【应用练习】 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 二、利用基本不等式求函数的最值 2、(04重庆）已知 则x y 的最大值是 。 练习： 1、当x0时， 的最小值为 ，此时x= 。 2 1 3、若实数 ，且 ，则