2013版高中全程复习方略配套课件：7.8立体几何中的向量方法人教a版·数学理浙江专用.ppt

第八节 立体几何中的向量方法;三年16考 高考指数:★★★ 1.理解直线的方向向量与平面的法向量； 2.会用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； 3．会用向量方法证明直线和平面位置关系的有关命题； 4．会用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． ;1．利用直线的方向向量和平面的法向量证明线线垂直和解决空间角问题是高考的热点； 2．本节的重点是利用向量法求空间角，难点是正确地进行计算； 3．多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力和数形结合的思想.;;【即时应用】 （1）思考：在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？ 提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．;(2)若 是平面α内的三点，设平面α 的法向量n=(x,y,z)，则x∶y∶z=__________. 【解析】 由 得 所以x∶y∶z= y∶y∶( )=2∶3∶(-4)． 答案：2∶3∶(-4);2.空间位置关系的向量表示;【即时应用】 (1)若平面α,β的法向量分别为a=(－1,2,4)，b=(x，-1， -2)，并且α⊥β，则x的值为____． (2)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4), b=(-6,9,6), 则直线l1,l2的位置关系是_______． 【解析】(1)由α⊥β得 ，解得x=－10. (2)由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得 ，从而l1⊥l2． 答案：(1)－10 (2)l1⊥l2;3.空间角的向量求法 (1)异面直线所成角的求法 设a、b分别是两异面直线l1,l2的方向向量;(2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n， 直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则 有sinφ=|cosθ|= .;(3)二面角的求法 ①如图a，AB、CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ=________.;②如图b、c，n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α， β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ= __________或 ___________.;【即时应用】 (1)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量， 若 ，则l与α所成角的大小为_______． (2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中 点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_______．;【解析】(1)由于 ，∴〈 〉=120°， ∴直线l与平面α所成的角为30°. (2)建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)， C1(0,2,2)， =(－1,0,2)， =(－1,2,1)， 答案：(1)30° (2) ;4．点到平面的距离的向量求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则 点B到平面α的距离d=_______.;【即时应用】 (1)思考：如何推导点到平面的距离公式？ 提示：在Rt△BOA中 ,d=| |sin∠BAO ;(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方 形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________． 【解析】如图，建立坐标系Dxyz， 则A1(2,0,4)，A(2,0,0)， B1(2,2,4)，D1(0,0,4)， =(-2,0,4), =(0,2,4), =(0,0,4),设平面AB1D1 的一个法向量为 =(x，y，z)，;由 得 ，令z=1，则n=(2,－2,1)， 设点A1到平面AB1D1的距离为d， 则 答案：; 利用空间向量证平行、垂直 【方法点睛】 1.用向量证平行的方法 (1)线线平行:证明两直线的方向向量共线. (2)线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行. (3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题.;2．用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． (2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示． (3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直