0第5章 特征值及特征向量20531.ppt

解 当 时， 必须有两个线性无关的特征向量 即 x + y=0。 作业 P169 4(1);(3);6 练习 设 求 解： 可以对角化。 齐次线性方程组为 当 时， 系数矩阵 令 得基础解系: 齐次线性方程组为 当 时， 系数矩阵 令 得基础解系: 令 求得 即存在可逆矩阵 , 使得 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵的正交对角化（重点） 第三节 实对称矩阵的对角化 性质1 实对称矩阵的特征值为实数.(证明略） 一、实对称矩阵的性质 注 未必所有的实矩阵对应的特征值都是实数。 性质2 实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量正交。 是依次与之对应的特征向量。 证 设 是对称矩阵 的两个特征值，且 则 于是 为实对称矩阵， 即 正交。 定理5.3.1 (实对称矩阵必可对角化) 对于任一 阶实对称矩阵 ， 其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角阵。 一定存在 n 阶正交矩阵 使得 知道结论即可 二、实对称矩阵（正交）对角化的结论 例1 设 求正交矩阵 ， 使得 为对角阵。 解 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 令 当 时，齐次线性方程组为 令 得基础解系 之间是什么关系？ 令 先正交化： 再单位化：令 单位化得 得正交矩阵 求正交矩阵 ，把实对称矩阵 化为对角阵的方法： 1. 解特征方程 求出对称阵 的全部不同的特征值。 即求齐次线性方程组 的基础解系。 3. 将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。 2. 对每个特征值 ，求出对应的特征向量， 这样共可得到 个两两正交的单位特征向量 4. 以 为列向量构成正交矩阵 有 作业 P172 1(1);(2) 第六章 二次型及其标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵 §6.2 化二次型为标准型 §6.1 二次型及其矩阵表示 §6.1 二次型及其矩阵表示 引言 判别下面方程的几何图形是什么？ 作旋转变换 代入(1)左边，化为： 见下图 称为n维(或n元)的二次型. 定义 含有n个变量 的二次齐次函数 关于二次型的讨论约定在实数范围内进行！ 例如： 都是二次型。 不是二次型。 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形。 为二次型的标准形。 (湖南师大附中内部资料)高三化学习总复习课件：高三第五次周考试卷分析课0801(课件)(培训课件)班组建设与5S管理培训多媒体计算机系统常用硬件设备教材 一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 第一节 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的定义 注意 （1） 是方阵 （2）特征向量 是非零列向量 P157定理5.1.1. （3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一 定义1 设 是 阶方阵， 若数 和 维非零列向量 ，使得 成立，则称 为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。 是方阵 的一个特征值， 定义 满足 设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非零列向量 则称 为 A 的特征值，非零向量 称为 A 的对应于(或属于)特征值 的特征向量。 把(1)改写为 是 A 的特征值 ? ? 使得(2)有非零解 (2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量. 分析 或 已知 所以齐次线性方程组有非零解 或 是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。 定义2 已知 数 ，称 为A的特征矩阵 称为矩阵 的特征方程。 特征方程 的根即为A的特征值。 由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数范围恰有 n 个特征值。 本章关于特征值、特征向量的讨论在复数范围内进行。 定理5.1.2 定理5.1.3 设 n 阶方阵 特征值为 , 则 又 推论 A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零. 设 是方阵 A 的特征值，对应的一个特