二重积分的概念与性质 ppt.ppt

二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 小 结 定积分 推广: 被积函数 积分范围 二元函数 平面区域 二重积分 三元函数 空间区域 三重积分 一元函数 被积函数 积分范围 区 间 第8章 重积分 §8.1 二重积分的概念与性质 二、二重积分的概念 一、问题的提出 三、二重积分的性质 １.求曲顶柱体的体积 一、问题的提出 曲顶柱体体积= 特点 D 困难 曲顶柱体 以xOy面上的闭区域D为底, D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面, 侧面以 顶是曲面 且在D上连续). 曲顶. 顶是曲的. 平顶柱体体积 =底面积×高 解决曲顶柱体体积问题的思想、步骤 思想： 分割、 与解决曲边梯形面积的思想、步骤类似 取近似、 求和、 取极限. 步骤： “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” (1) 分割 相应地此曲顶 柱体分为n个小曲顶柱体. (用 表示第i个子域的面积) . 将域D任意分为n个子域 (2)近似代替 (3)求和 (4)取极限 步 骤 ２.求平面薄片的质量 设有一平面薄片, 求平面薄片的质量M. 将D分割成n个小块 (2)近似代替 (1) 分割 (3)求和 (4)取极限 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 这和式 则称此 零时, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于 的极限存在, 极限为函数 二重积分, 记为 即 (4) 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 1.对二重积分定义的说明： (1)2个任意性, (3)可积的必要条件:若 f (x,y)在D上可积,则 f (x,y)在D上有界. (4)可积的充分条件: 若f(x,y)在D上连续,则 f(x,y)在D上可积. (5)若f(x,y)在D上可积, 无界必不可积 2.二重积分的几何意义 例 设D为圆域 二重积分 = 解 上述积分等于 是上半球面, 上半球体的体积： R D 例 根据二重积分的几何意义, 确定积分值. 性质１ 当 为常数时， 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积， 特殊地 性质５ 若在D上 则有 (比较性质) 以1为高的 注 既可看成是以D为底, 柱体体积. 又可看成是D的面积. 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 例 的值= ( ). (A) 为正 (B) 为负 (C) 等于0 (D) 不能确定 为非正 B 估计 的值, 其中 D 为 解 被积函数 D 的面积 的最大值 的最小值 例 解 估值性质 区域D的面积 在D上 例 不作计算, x y a b o 例 比较 o x y 1 ? ?1 ?2 C (2,1) ? 的大小, 则( ) (D) 无法比较. 解 例 判断 的正负号. 故 于是 又当 时， 补充 在分析问题和算题时常用的 定积分的对称性 回忆 对称性质 当 f (－x)＝ f (x) 当 f (－x)＝－ f (x) 二重积分的对称性质： 设区域D关于x轴对称, (1)如果函数 f(x, y) o x y D1 则 D1为D在 x 轴的上半部分, 关于y为奇函数 则 (2)如果函数 f (x, y) 关于y为偶函数， 性质8 书上P76 定理8 - 2 这个性质的几何意义如图: O x y z O x y z 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为偶函数 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为奇函数 （2）若D关于y轴对称， D1为D在右半平面部分， 则有： 类似地, o x y D1 设D为圆域(如图) 0 D1为上半圆域 例 0 D2为右半圆域 解 由性质得 例 (A) (B) (C) (D) 0. A 为顶点的三角形区域, D1是D在第一象限的部分, (P118 自测题八 1.(1) ) 思考题 D1 D2 D3 D4 记 I= 则I= I1+ I2, 其中 I1= I2= 而 I1 = D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称 xy关于x和关于y都是奇函数 而 I2 = 是关于x的偶函数, 关于y的奇函数. 所以 D1 D2 D3 D4 * * * *