4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图.doc

教案（首页） 授课日期 授课班级 课 题 4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图 计划 学时 2 课时 教学目标 1.熟练掌握函数拐点以及凹凸区间的定义；2.掌握函数凹凸性的判定方法及拐点定理；3.熟练掌握函数草图的做法并了解一般的作图步骤； 教学重点 解决措施 教学重点：函数凹凸性的判定方法及拐点定理 解决措施：讲授、演示 教学难点 解决措施 教学难点：函数草图的做法 解决措施：讲授、演示 教学设计 教学手段 教学方法 多媒体教学、板书演示 板书设计 授课提纲 一、复习 二、新授 4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图 （一）函数拐点以及凹凸区间的定义 （二）函数凹凸性的判定方法及拐点定理 （三）函数草图的做法并了解一般的作图步骤 三、练习 四、小结 五、作业 教 学 过 程 设 计 时间 分配 教师活动 学生活动 都是上升的，但上升的情况不同。弧是向上凸而上升，弧是向下凸而上升。因此有必要区分图形是向上凸还是向下凹。 在图4.14的左图中，我们看到，如果图形是向上凸时，则当x增大时，切线的斜线率是减小的。而图4.14的右图却正好相反，即当x增大时，切线率是增大的。因此用导数增减性可完全反映出图形的凸性。 【新课讲授】 定义一 设函数在世递减的，则称曲线内是凸的；如果是递增的，则称曲线在内事凹的。 定义二 设函数在所考虑的区间可导，则曲线的凸凹分界点称为曲线的拐点。 如何判断曲线的凸凹及拐点呢？ 曲线的凹凸是由得增减性来定义的，又因为的导数，所以的增减可由的正负号来判断。于是可得到下列几个定理。 定理一 若，则曲线在内是凹的，反之，若则曲线在内事凸的。 定理二（拐点的必要条件）若点是曲线的拐点。且处二阶导数存在。则。 定理三 若两侧变号，则点是曲线的拐点。 例1 求曲线的拐点。并判断曲线在什么区间上是凸的，在什么区间上是凹的？ 解 函数的定义域是。 ， 令。 讨论如下： 当曲线是凸的， 当曲线是凹的， 当 由此知拐点为为凹区间。 例2 ， 解 算出 ， ， 函数的定义域为，讨论如下： 当x0时，，曲线是凸的， 当想x时，曲线是凸的， 因为x=0不在定义域内，所以曲线无拐点。 Ⅱ.函数作图 作函数的图形，大致可以分为以下步骤： 初步研究：如何讨论定义域，对称性，周期性等等； 讨论增减区间.极值点及极值； 讨论凹凸区间及拐点； 讨论一些特殊情形，如有点，说明曲线与直线无限接近（如图4.15），直线称为曲线的水平渐近线。若（常数），说明曲线与直线无限接近.直线称为曲线的水平渐近线（如图4.16）. 根据需要再增算几个点 注意，作图时限讨论（1）（2）（4）与（5）.因为往往有这样情形（1），（2），（4）与足以画出其图形.当还不足以画出图形时，在讨论（3）. 例3 作函数的图形. 解 函数的定义域为，是奇函数，所以图形对称于原点. ， 是驻点，它把定义域分为三段.图形变化见下表。 x x=-1 (-1,1) x=1 - 0 + 0 - 图形 极小值点 极大值点 极小值为 讨论渐近线： 。 故有水平渐近线 有以上材料就可大致画出图形。 例4 作函数的图形。 解：函数的定义域为，是偶函数，图形对称y轴，且y0,所以图形在x轴的上方。 。令 x x=0 + 0 - 图形 极大值点 极大值为 令 (-,) （ ， ） ( , ) + 0 — 0 + 图形 凹 拐点 凸 拐点 凹 拐点为（ ， ）, （ ， ）. =0,有水平渐近线 根据以上讨论的情况，可大致地作出图形（图4.18）。 例5 作函 的图形. 解 定义域为,图形对称y轴。 . 在定义域内无驻点，也没有极值点。 x - + 图形 无定义 . 无的点，无拐点。在及 内 ,图形是凸的。又 . 所以有垂直渐近线 (左侧)，（右侧） 当 时， 。 根据以上讨论可大致作出其图形（图4.19）。 【课堂小结】 1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法； 2.曲线的渐近线； 3.函数图形的作法. 【作业布置】 课内练习： 1、求曲线 的拐点及凹凸区间。 2、求曲线的拐点及凹凸区间。 3、作的图形. 4、作 的图形。 5、作) 的图形 课外作业： 试确定一个x的六次多项式P（x），已和曲线切x轴于原点，且在拐点（-1，1），在（1，1）处切线水平。 【教学反思】 5分钟 5分钟 50分钟 5分钟 13分钟 2分钟 提问 其实所有函数的图像可有这四种图像组合而成 解释