1-2.逆序与对换.ppt

一、概念的引入 二、对换 2.对换与排列的奇偶性的关系 * * 第二节 n元排列的逆序与对换 一、n元排列的逆序 二、对换 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法. 共有 在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字 1，2，3叫做元素. 上述问题就是：把三个不同的 元素排成一列，共有几种不同的排法？ 排列与逆序 定义 1 由数字 组成的不重复的每一种有 确定次序的排列, 称为一个 级排列. 例如, 1234和4312都是 4 级排列, 而24315是一个5 级排列. 对 个不同的自然数, 规定由小到大为标准 次序. 定义 2 在一个排列 中, 若数 则称数 与 构成一个逆序. 一个 级排列中逆序 的总数称为该排列的逆序数, 记为 排列与逆序 定义 2 在一个排列 中, 若数 则称数 与 构成一个逆序. 一个 级排列中逆序 的总数称为该排列的逆序数, 记为 例1 求排列32514的逆序数. 解 3 2 5 1 4 定义 3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为 偶数的排列称为偶排列. 分别计算出排列中每个元素后面比它小的数的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 3 2 5 1 4 逆序数的计算方法 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 练习： 求排逆序数. 解 由前向后求每个数的逆序数： 1.定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，得到一个新排列，称这样的变换为一次对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 例1 例2 对换的性质 推论 1 在全部 n 阶排列中(n≥2),奇偶 排列各占一半. 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性. 推论 2 奇排列变成标准排列的对换次数为 奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 三阶行列式的定义 为了给出 n 阶行列式的定义,先来研究三阶行 列式的结构. 三阶行列式的定义为: 任一项除正负号外可写成 个下标(行标)排成标准排列 123 , 而第二个下标 容易看出: (1) 上式右边的每一项都恰是三个元素的乘积, 这三个元素位于不同的行、不同的列． 因此， 这里第一 (列标)排成 p1p2p3 ,它是1，2，3这三个数的某个 共有６项． 排列． 这样的排列共有 3!=６种，故上式右端 (2) 各项的正负号与列标的排列对照 带正号的三项列标排列：123 , 231 , 312 ; (为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321. (为奇排列)． 故三阶行列式可以写成