第八讲概率的计算(第二十章)24.ppt

* 静 第八讲 概率的计算（第二十章） 1、 用古典概率、几何概率计算概率 2、 用基本性质计算概率 3、 利用条件概率、乘法公式计算概率 4、 利用事件的独立性计算概率 5、 利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率 6、 利用二项概率公式计算概率 1、用古典概率计算概率 一、 用古典概率、几何概率计算概率 古典概型具有两个特性： (1)试验的可能结果(即基本事件)的个数有限，且两两互不相容； ?＝{?1, ?2, ... ?n} (有限性) (2)每个基本事件发生的可能性相等； (等可能性) 这时若事件A含有k个基本事件，则 为此，经常用到如下排列组合知识： (1) n个不同元素全部取来进行排列，全部 排列的种数为：Pn＝n! (2) n个不同元素,每次从中任取r个不同元素来进行排列，所有 不同排列的种数为： (3) n个不同元素,每次从中任取何r个不同元素来进行组合，所 有不同组合的种数为： (4) n个不同元素,每次允许重复地从中任取何r个元素进行排列， 所有不同排列的种数为： 例1. 设有一批产品共100件，其中5件次品， 现从中任取3件，求 (1)全是正品的概率； (2)恰有2件次品的概率. 解：(1)设A={任取3件全是正品} (2)设B={任取3件恰有2件次品} 例2. 一个盒中装有编号为1，2，…,10的球各 一个，外形完全一样。随机从盒中摸球，每摸 一个球，记下编号后放入盒中，共摸六次，求 所记下的编号中最大号码恰为6的概率. 解1：设A={6次摸出的编号球最大号码恰为6} 解2：设A={6次摸出的编号球最大号码恰为6} 2、用几何概率计算概率 几何概型具有两个特性： (1)试验的可能结果(即基本事件)的个数无限， 且全体结果可用一个有度量的几何区域G来表 示； (无限性) (2) 每个基本事件发生的可能性相等； (等可能性) 这时若事件A所对应的区域为g，则 y O x 3 24 24 2 例3. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。甲船的停泊时间是2小时，乙船的停泊时间是3小时，两船启航后都不再返回该码头，求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。 解：设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x与y,则由题意 即样本空间为以24为边长的正方形 设A表示它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出，则 即图中阴影部分。 于是，所求概率为： y=x+2 y=x-3 概率的基本性质 二、 用基本性质计算概率 性质1. (有限可加性)设有限个事件A1, A2,..., An 满足AiAj=?(i?j, i, j=1, 2, … n), 则 性质2. 对任一事件A有 性质3.（加法公式）设A、B为任意两个事件，则 P(A?B)=P(A)+P(B)–P(AB) 设A、B、C 为任意三个事件，则 P(A?B?C)= P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(BC)+P(ABC) 性质4.设A、B为任意两个事件，且A?B，则 P(B-A)= P(B)–P(A) 例4. 设P(A)=1/3，P(B)=1/2，若（1）AB=?；（2）A?B；（3） P(AB)=1/8，求 解： （1）因为AB=?，所以 例5. 设 A、B、C 为随机事件,已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/16，则事件A、B、C 全不发生的概率为多少？ 解：“事件A、B、C 全不发生”记为 （2）因为A?B，所以 三、利用条件概率、乘法公式计算概率 1、条件概率 条件概率与积事件概率的区别：一般地说，当事件A、B同时发生 时，常用P(AB)；而在有包含关系或明确的主从关系中，用P(B|A)。 2、乘法公式 或 例6. 一盒中有10只晶体管，其中7只正品，3只次品，分别用不放回依次抽取和有放回依次抽取两次的方法来测试，求抽取的两件中都是正品的概率. 解：记A ={第一次抽得正品}, B ={第二次抽得正品} (1)不放回抽取： 故 (2)有放回抽取： 故 例7. 设 A、B 为随机事件,已知P(A)=0.5，P(B)=0.6， 解:(1)方法1 因为P(A?B)=P(A)+P(B)–P(AB) 且 所以 方法2 因为 所以 且 所以 四、利用事件的独立性计算概率 1、定义 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 则称A, B, C两两独立； 进一步若还有 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)， 则称A, B, C相互独立. 若事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A, B相互独立 若事件A，B，C满足 2、性质 也相互独立. 若A与B相互独立，则P(B|A)= P(B)，P(A|B)