平面上的坐标变换-旋转.PDF

5-2-2 平面上的坐標變換-旋轉 【問題】 圖形 焦點 準線 方程式 2 Γ F (2 2 ,0) x 0 y 4 2 (x − 2 ) Γ F (2,2) x +y 0 x 2 −2xy +y 2 −8x −8y +16 0 觀察： 1. 由 以上兩圖 形可 知經過 旋轉 之後 兩圖 形可 以重疊 ，且圖 形若 經過化 為標準 式 ，可以很容易看出許多圖形的特徵與性質 ，但未經過化簡的 則， 很難 看 出 任何性質 故經過旋轉適當的角度之後， ，圖 形可 以更簡 化 並看 出許 多性質 。 2. 要注意的是我們旋轉的方法有兩種 ，一種就是旋轉圖形使得互相重疊 ，另 一 種就是旋轉坐標軸使得方程式變的更為簡單 ，而旋轉後的原點不變且單位長 不變。 3. 圖 形旋轉 一單位角度 與坐標軸 旋轉 一負單位角度 之意 義相同 ，但旋轉圖形與 旋轉坐標軸何者較為容易呢，原則上是差不多的。 4. 對於一般二元二次方程式 ，不一定可 以一眼 看 出其圖 形為何種 形狀 ，若能經 過適當的變換後，了解其圖形的形狀，就能求出很多相關的性質。 【方法】 坐標軸旋轉(轉軸)： → → → → θ S ≡ O i j 旋轉 角至新坐標系 S ≡(O;e ,e ) ， 坐標系 ( ; , ) 1 2 x +iy r(cos(θ+φ) +i sin(θ+φ)) x +iy r(cosφ+i sinφ) 設 ， 則 x +iy r(cos(θ+φ) +i sin(θ+φ)) (r cosθcosφ−r sinθsinφ) +i(r sinθcosφ+r cosθsinφ) (x cosθ−y sinθ) +i(x sinθ+y cosθ) 即 (x +iy)(cosθ−i sinθ) (x +iy) (或(x +iy)(cosθ+i sinθ) (x +iy) ) 則 P的原坐標 P (x ,y ) 與新坐標P (x ,y ) 的關係式 S S 為 − x x cosθ y sinθ ⎧ ⎨ (稱轉軸 公式) + y x sinθ y cosθ ⎩ 利用克拉瑪公式可得 + x x cosθ y sinθ ⎧ ⎨ ， − + y x sinθ y cosθ ⎩ 故軸轉 θ角也就是圖形旋轉 −θ角 x y x cosθ sinθ y −sinθ