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平均数的估计母体标准差未知
統計推論 估計 (estimation) 假設檢定 (test of hypotheses) 預測 (prediction) 11.1 平均數的估計 點估計(point estimation) 結果是單一的數字,或是實數線上的一個點。 估計最大誤差 n=150、σ=6.2, z0.005=2.575代入 E 的公式, E = 1.30, 可以宣稱:估計最大誤差,有0.99的機率不會超過1.30。 信賴、信心 針對隨機變數的未來值,提出機率陳述 一旦完成資料蒐集之後,則提出信賴陳述 。 n=36、s=5.73代替σ,z0.0025=1.96代入 E 的公式, E =1.87 在95% 的信心下,誤差最大為 1.87?分鐘 有19賠1的勝算,最大誤差不會超過1.87分鐘。 ? 樣本數 達到某精確度,E,所需的樣本數,n 。 E=0.30、σ=1.50,與 z0.025=1.96,代入公式 n= 96.04 無條件進入取整數97 最大誤差不超過0.30分鐘的信心為95% 大樣本信賴區間 1-α或(1-α)100% 稱為信賴程度 區間估計 μ的(1-α)100% 信賴區間為 z0.0025=1.96代入公式 ? 信賴程度與寬度 當信賴程度增加時,信賴區間的寬度會隨之增加 因此對我們所欲估計的數值,愈沒有把握。 11.2 平均數的估計(母體標準差未知) t 統計量 t 分配 附表II:自由度從1至30的 t0.025 與 t0.005 值。 μ的信賴區間 (σ 未知) 假設母體服從常態分配 σ 未知時,μ的(1-α)100% 信賴區間為 =14.10、s=1.67、n=8,t0.025=2.365 (自由度=7) 代入 t 區間公式,得到 ? s=4.28、n=12,t0.005=3.106代入修正公式 E =?3.84。 以99% 的信心,估計誤差最多不會超過3.84 ? 11.3 標準差的估計 卡方統計量 : 附表 III 可以查到自由度從1至30的下列值 σ2 的信賴區間 假設母體服從常態分配 σ2 的(1-α)100% 信賴區間為 假設母體服從常態分配 n=12、s=4.28,卡方值=2.603與26.757(自由度11) 得到 如圖 (引用軟體), 這組資料可視為來自於常態母體? (b) s=172.3, n=15,卡方值=5.629,26.119 (自由度=15) 得到 ? 15913<σ2<73836 取平方根, 得到 126.1<σ<71.7 ? σ的大樣本信賴區間 n=110、s=14.35, z0.025=1.96 代入 得到 12.68<σ<16.53 有95% 的信心說, 噴發間隔時間的標準差,介於12.68與16.53之間。 11.4 比例值的估計 探討的是 計數資料 母體比例值,p,的估計是樣本比例值 ,x/n 比例值的標準誤是 p 的大樣本信賴區間 n=400、 =0.34, z0.025=1.96 代入公式得到 0.294 p 0.386 n=250、 =0.58, z0.005=2.575 代入 E 的公式,得到 E = 0.080 在 99% 的信賴水準下,估計值的最大誤差不會超過0.08 ? 樣本數 z0.025=1.96,E=0.04, p=0.25 代入 ?n = 450.19 無條件進入至整數位,得到 n = 451。 ? (b) z0.025=1.96,E=0.04, p (1-p)=0.25 代入 n = 600.25? 無條件進入至整數位,得到 n = 601。 ? * 有95% 的信心母體平均數的確是被包括在內。 有19賠1的勝算,母體平均數包含在 68.5 ~ 70.5 假設母體服從常態分配 將 n=12、 =27.33、s=4.28,與 t0.005=3.106 (自由度11)代入公式,得到 ? 兩邊取平方根,得到 2.74<σ<8.80; 此為標準差的 99% 信賴區間。 大樣本時,σ 的(1-α)100% 信賴區間可為 p 的(1-α)100% 信賴區間為 估計最大誤差 達到某精確度,E,所需的樣本數,n ,如下: p 值的決定: 以 p 的猜測值中最接近 0.5 的代入 p 以 0.
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