平均变化率的几何意义.PPT

普通高中课程标准实验教科书 数学（选修）1－1，2－2导数及其应用 南京市第二十九中学 吴小波 第一段，缓慢加速， 由30km/h至60km/h，无感 第二段，一脚油门， 由30km/h至60km/h， 晕 问题情境1 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。 问题情境2 o x y 容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”. 如何量化陡峭程度呢？ 该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度. ●B ●A ●C 交流与讨论 现有南京市去年10月和11月某天的最高气温记载. 时间 10月18日 11月18日 11月20日 日最高气温 33.4℃ 18.6℃ 4.5℃ 降低14.1℃ 降低14.8℃ 问题情境3 案例中，从B 到C 气温“陡降”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化气温“陡降”呢？ 交流与讨论 2 10 20 30 C (34, 4.5) B (32, 18.6) 0 A (1, 33.4) T (℃) 2 20 30 34 10 t(d) 我们用比值： 来近似地量化B，C 之间这一段曲线的陡峭程度， 并称该比值为气温在区间[32，34]上的平均变化率． 2 10 20 30 C (34, 4.5) B (32, 18.6) 0 A (1, 33.4) T (℃) 2 20 30 34 10 t(d) 平均变化率的定义： 一般地，函数　　在区间 上的平均变化率为 (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． 建构数学理论 说明:(1)平均变化率的几何意义:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 连线的斜率. （以直代曲思想） （数形结合思想） “数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚 例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算下列体重的平均变化率： （1）从出生到第3个月； （2）从第6个月到第12个月. T(月) W(kg) 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11 解：从出生到第3个月,婴儿体重的平均变化率为 从第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率为 反思:两个不同的平均变化率的实际意义是什么？ 数学应用 例2、已知函数f(x)＝2x -1，g(x)＝ -2x, 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率． 练习：一次函数f(x)＝kx＋b在区间 [x1，x2]上的平均变化率等于 ． A B O x y y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) △x △y 你能解释为什么会出现这一现象吗？ 数学应用 k 思考：C1，C2，C3对应的三个函数在区间[x1,x2]上的平均变化率有何关系？ 用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确”的，它只能近似地表示函数值变化的快慢程度. 对一个函数，如何较为精确地刻画函数值变化快慢的趋势？ 例3、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]. 4 3 2.1 2.001 （5）[0.9，1]； （6）[0.99，1]； （7）[0.999，1]. 练习: 1.99 1.9 1.999 课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？ 数学应用 x y p 1 3 1、平均变化率 2、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． 一般的，函数f(x)在区间 [x1，x2]上的平均变化率为 3、一般用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确”的，但应注意当变化区间很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”. x y O x1 x2 f(x) f(x1) f(x2) 以直代曲 数形结合 函数值的增加量 相应的自变量的增加量 = 小结回顾 作业：p69 4, 5 p77 习题1 * * * * * *