试验三水塔流量问题.DOC

实验三：水塔流量问题 【实验目的】 1．了解有关数据处理的基本概念和原理。 2．初步了解处理数据插值与拟合的基本方法，如样条插值、分段插值等。 3．学习掌握用MATLAB命令处理数据插值与拟合问题。 【实验内容】 某居民区有一供居民用水的圆形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间是无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约两小时。水塔是一个高12.2米、直径17.4米的正圆柱。按照设计，水塔水位降到约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作。 某一天的水位测量记录如下表所示，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 水位测量启示录（//表示水泵启动） 时刻（h） 水位（cm） 0 968 0.92 948 1.84 931 2.95 913 3.87 898 4.98 881 5.90 869 7.01 852 7.93 839 8.97 822 时刻（h） 水位（cm） 9.98 // 10.92 // 10.95 1082 12.03 1050 12.95 1021 13.88 994 14.98 965 15.90 941 16.83 918 17.93 892 时刻（h） 水位（cm） 19.04 866 19.96 843 20.84 822 22.01 // 22.96 // 23.88 1059 24.99 1035 25.91 1018 【实验任务分析】 1．问题的分析 　　流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。 　　水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为拟合的原始数据，我们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。我们可以考虑先用表中数据拟合水位～时间函数，然后对之求导即可得到各时段的流量。有了任意时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如由某一时段水位下降量乘以水塔的截面积（水塔截面积是常数＝(17.4/2)2＝237.8（m2））就得到这一时段的用水量。这个数值可以还可以用来检验拟合效果。 　　流量是时间的连续函数，只取决于水位差，与水位本身无关，与水泵是否工作无关。按照Torricelli定律从小孔流出的液体的速度正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最高和最低水位分别为10.8米和8.2米（设出水口的水位为0），因为＝1.15，可以忽略水位对流速的影响。简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的）。 　　水泵第1次供水时段为＝9.0到＝11.0（小时），第2次供水时段为＝20.8到＝23.0（小时）。这是根据最高和最低水位分别为10.8米和8.2米，及表1的水位测量记录作出的假设，其中前3个时刻直接取自实测数据（精确到0.1小时），最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，第2次供水时段应在记录的22.96小时之后不久结束）。水泵工作时单位时间的供水量大致为常数，这个常数应该大于单位时间的平均流量。 　　首先考虑拟合水位～时间函数，从表1测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段），和三个水泵不工作时段（简称第1时段＝0到＝8.97，第2时段＝10.95到＝20.84，第3时段＝23以后）。对第1、2时段的测量数据可直接分别作多项式拟合，得到水位函数。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般在3～6次。由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出较好的拟合。 　　接着确定流量～时间函数，对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3时段流量包含在第2供水时段内。 　　最后一天总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段（将第3时段包含在第2供水时段内）用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分再乘以水塔截面积得到。 2．MATLAB命令求解 　　拟合第1、2时段的水位，并导出流量，t，h为时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），程度代码如下： t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91]